Determine uma relação entre
e
para que
seja um campo conservativo.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma relação entre as constantes
,
e
para que o campo vetorial
seja conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função potencial, o que implica que o rotacional do campo é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o campo vetorial dado:
Nosso objetivo é calcular o rotacional de
e igualá-lo a zero para encontrar as relações entre
,
e
.
Passo 3
Vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial
. O rotacional é dado por:
No nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
Calculando as derivadas:
Portanto:
- Componente
:
Calculando as derivadas:
Portanto:
- Componente
:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Passo 5
Juntando todas as componentes, o rotacional de
fica:
Para que o campo seja conservativo, o rotacional deve ser zero em todas as direções. Ou seja:
Passo 6
Vamos resolver as equações acima:
-
Primeira equação:Como isso deve valer para todo valor de
, a única possibilidade é que o coeficiente de seja zero: -
Terceira equação:Novamente, para qualquer
, isso só é possível se:
Passo 7
Substituindo
na relação
, temos:
Perceba que a constante
não aparece nas equações resultantes, o que significa que ela pode ser qualquer valor.
Resposta
Para que o campo vetorial
seja conservativo, as constantes devem satisfazer:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a metade superior do círculo
.
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
©
©
Se
, onde
. Encontre curvas
e
que satisfaçam as equações.
(a) .
(a)
Utilizando a definição, calcule a transformada de Laplace da função