Determine uma relação entre a, b e c para que F = (a y^2 + 2 c z x) i + y (b c + c z) j + (a y^2 + c x^2) k seja um campo conservativo.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma relação entre as constantes , e para que o campo vetorial seja conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função potencial, o que implica que o rotacional do campo é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o campo vetorial dado:
Nosso objetivo é calcular o rotacional de e igualá-lo a zero para encontrar as relações entre , e .

Passo 3

Vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial . O rotacional é dado por:
No nosso caso:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
Calculando as derivadas:
Portanto:
  1. Componente :
Calculando as derivadas:
Portanto:
  1. Componente :
Calculando as derivadas:
ãá
Portanto:

Passo 5

Juntando todas as componentes, o rotacional de fica:
Para que o campo seja conservativo, o rotacional deve ser zero em todas as direções. Ou seja:

Passo 6

Vamos resolver as equações acima:
  1. Primeira equação:
    Como isso deve valer para todo valor de , a única possibilidade é que o coeficiente de seja zero:
  2. Terceira equação:
    Novamente, para qualquer , isso só é possível se:

Passo 7

Substituindo na relação , temos:
Perceba que a constante não aparece nas equações resultantes, o que significa que ela pode ser qualquer valor.

Resposta

Para que o campo vetorial seja conservativo, as constantes devem satisfazer:

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