Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar, usando a definição formal com
e
, que o limite da função
quando
se aproxima de
é igual a
. Isso está dentro do estudo de limites em cálculo. Para isso, vamos precisar entender como manipular as desigualdades envolvendo
e
para chegar na conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
usando a definição de limite. Queremos mostrar que para qualquer número positivo
, por mais pequenininho que seja, existe um
tal que se
, então
.
Então, começamos assumindo que temos um
arbitrário. Nosso objetivo é encontrar um
que funcione para essa escolha de
.
Passo 3
Vamos analisar a expressão
. Como
, temos:
Queremos que
. Isso nos dá uma pista de como escolher
.
Passo 4
Para garantir que
, podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados da desigualdade:
Então, se escolhermos
, teremos que sempre que
, a condição
será satisfeita.
Passo 5
Resumindo tudo, para qualquer
, se definirmos
, então sempre que
, teremos:
Isso prova, pela definição formal, que
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite com
e
, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Seja
© Determine .
© Determine
(a) Obtenha o corte com o eixo
da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta
intersecta o plano
.
Calcule
, onde
é a metade superior do círculo
.
Determine uma relação entre
e
para que
seja um campo conservativo.