Mostre, usando a definição formal (ou seja, via varepsilon e de ) que lim x p f(x)=l nos casos seguintes.
© f(x)=-x^2, p=0, l=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar, usando a definição formal com varepsilon e de, que o limite da função f(x) = -x^2 quando x se aproxima de 0 é igual a 0. Isso está dentro do estudo de limites em cálculo. Para isso, vamos precisar entender como manipular as desigualdades envolvendo varepsilon e de para chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que limx to 0 f(x) = 0 usando a definição de limite. Queremos mostrar que para qualquer número positivo varepsilon, por mais pequenininho que seja, existe um de tal que se |x - 0| < de, então |f(x) - 0| < varepsilon.
Então, começamos assumindo que temos um varepsilon > 0 arbitrário. Nosso objetivo é encontrar um de que funcione para essa escolha de varepsilon.

Passo 3

Vamos analisar a expressão |f(x) - 0|. Como f(x) = -x^2, temos:
|f(x) - 0| = |-x^2| = |x^2| = x^2
Queremos que x^2 < varepsilon. Isso nos dá uma pista de como escolher de.

Passo 4

Para garantir que x^2 < varepsilon, podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados da desigualdade:
x^2 < varepsilon Rightarrow |x| < raizvarepsilon
Então, se escolhermos de, teremos que sempre que |x| < de, a condição x^2 < varepsilon será satisfeita.

Passo 5

Resumindo tudo, para qualquer varepsilon > 0, se definirmos de, então sempre que |x| < de, teremos:
|f(x) - 0| = x^2 < varepsilon
Isso prova, pela definição formal, que limx to 0 -x^2 = 0.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite com varepsilon e de, mostramos que limx to 0 -x^2 = 0.

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