Calcule , onde é a metade superior do círculo unitário . Dica: parametrização do semicirculo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha , onde é a metade superior do círculo unitário . Isso faz parte do estudo de integrais de linha na Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar parametrizar o semicirculo e entender como calcular o elemento de comprimento .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o semicirculo. A dica já nos deu a parametrização:
Isso significa que, conforme varia de a , percorremos a metade superior do círculo unitário.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento . Quando parametrizamos uma curva por , é dado por:
Vamos calcular as derivadas de e :
Então,
Legal, o simplifica para apenas nessa parametrização.

Passo 4

Substituímos agora , e na integral original:
Vamos resolver essa integral separadamente para facilitar.

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição:
Então:
Calculando:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral é .

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