Calcule integralC(2+x^2 y) d s, onde C é a metade superior do círculo unitário x^2+y^2=1. Dica: parametrização do semicirculo x(t)=cos t e y(t)=sen t, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha integralC(2+x^2 y) d s, onde C é a metade superior do círculo unitário x^2+y^2=1. Isso faz parte do estudo de integrais de linha na Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar parametrizar o semicirculo e entender como calcular o elemento de comprimento ds.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o semicirculo. A dica já nos deu a parametrização:
x(t) = cos t, y(t) = sin t, 0 <= t <= pi
Isso significa que, conforme t varia de 0 a pi, percorremos a metade superior do círculo unitário.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento ds. Quando parametrizamos uma curva por t, ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 dt
Vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t):
dxdt = -sin t, dydt = cos t
Então,
ds = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 dt = raizsin^2 t + cos^2 t dt = raiz1 dt = dt
Legal, o ds simplifica para apenas dt nessa parametrização.

Passo 4

Substituímos agora x(t), y(t) e ds na integral original:
integralC(2+x^2 y) d s = integral0^pi (2 + (cos t)^2 cdot sin t) dt
Vamos resolver essa integral separadamente para facilitar.

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
integral0^pi 2, dt + integral0^pi cos^2 t cdot sin t, dt
A primeira integral é simples:
integral0^pi 2, dt = 2t g|0^pi = 2pi
Para a segunda integral, fazemos uma substituição:
u = cos t Rightarrow du = -sin t, dt Rightarrow -du = sin t, dt
Então:
integral0^pi cos^2 t cdot sin t, dt = -integralcos 0^cos pi u^2, du = -integral1^-1 u^2, du = integral-1^1 u^2, du
Calculando:
integral-1^1 u^2, du = [u^33]-1^1 = (13 - (-13)) = 23

Resposta

Somando as duas partes, temos:
2pi + 23 = 6pi + 23
Portanto, o valor da integral é 6pi + 23.

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