Determine a reta tangente às seguintes curvas no ponto indicado. Esboce o gráfico em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que vão nos ajudar a achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Precisaremos calcular a derivada da função, avaliá-la em para achar a inclinação, e então usar essa inclinação junto com o ponto para achar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo por 4 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de . Lembra que a derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto . Podemos reescrever a função como para facilitar a derivação.
Usando a regra do poder para derivadas, que diz que , temos:

Passo 4

Agora vamos avaliar a derivada em para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa equação para a forma :

Resposta

A reta tangente à curva no ponto onde é:

Gráfico

Para esboçar o gráfico, desenhe a curva e a reta que toca a curva exatamente no ponto .

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