Determine a reta tangente às seguintes curvas no ponto indicado. Esboce o gráfico em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que vão nos ajudar a achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Precisaremos calcular a derivada da função, avaliá-la em
para achar a inclinação, e então usar essa inclinação junto com o ponto para achar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Substituindo
por 4 na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de
. Lembra que a derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
. Podemos reescrever a função como
para facilitar a derivação.
Usando a regra do poder para derivadas, que diz que
, temos:
Passo 4
Agora vamos avaliar a derivada em
para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa equação para a forma
:
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto onde
é:
Gráfico
Para esboçar o gráfico, desenhe a curva
e a reta
que toca a curva exatamente no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Resolva os limites utilizando regra de L
Calcule
, onde
é a metade superior do círculo unitário
. Dica: parametrização do semicirculo
e
.
Calcule
onde
consiste no segmento de reta
que une os pontos
a
seguido pelo segmento vertical
de
a
.