Calcule
, onde
é a parte da circunferência
, percorrida no sentido horário do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem para resolver a integral
onde
é uma parte da circunferência
. Essa parte vai do ponto
até
seguindo no sentido horário. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais em curvas e geometria de circunferências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que na circunferência
, qualquer ponto satisfaz
. Então, dentro da integral temos
. Isso simplifica a integral para:
Essa integral representa o comprimento da curva
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o comprimento da parte da circunferência
. Sabemos que a circunferência completa de raio 1 tem comprimento
.
A parte
vai do ponto
até
no sentido horário, o que corresponde a um quarto de circunferência, já que a circunferência completa é dividida em quatro quadrantes de 90 graus cada.
Passo 4
Então, o comprimento de
é um quarto do comprimento total da circunferência:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.