onde é o triângulo que sai de , na direção de e, em seguida, para e volta para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de integral de linha sobre uma curva . A expressão que a gente quer calcular é:
A curva é um triângulo que vai de para , depois para e volta para . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada parte do triângulo e calcular a integral em cada segmento.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva em três segmentos:
De para
De para
De de volta para
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento AB: De para
Vamos parametrizar esse caminho usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
Então, as derivadas são:
Substituindo na integral:
Passo 4
Segmento BC: De para
Aqui, só muda de 0 para 1, então parametrizamos com de 0 a 1:
Derivadas:
Substituindo na integral:
Passo 5
Segmento CA: De x = 1 - t, y = 1 - t, z = 1 - t para dx = -dt, dy = -dt, dz = -dt
Para esse segmento, todas as coordenadas variam de 1 para 0. Podemos usar integralCA (x , dx - z , dy + 2 y , dz) = integral0^1 [(1 - t)(-dt) - (1 - t)(-dt) + 2(1 - t)(-dt)] de 0 a 1 para parametrizar: