Calcule
onde é o triângulo que sai de , na direção de e, em seguida, para e volta para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de integral de linha sobre uma curva . A expressão que a gente quer calcular é:
A curva é um triângulo que vai de para , depois para e volta para . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada parte do triângulo e calcular a integral em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva em três segmentos:
  1. De para
  2. De para
  3. De de volta para
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento AB: De para
Vamos parametrizar esse caminho usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
Então, as derivadas são:
Substituindo na integral:

Passo 4

Segmento BC: De para
Aqui, só muda de 0 para 1, então parametrizamos com de 0 a 1:
Derivadas:
Substituindo na integral:

Passo 5

Segmento CA: De para
Para esse segmento, todas as coordenadas variam de 1 para 0. Podemos usar de 0 a 1 para parametrizar:
Derivadas:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Defina para funções de várias variáveis: © Ponto de Mínimo.
Calcule
, onde é a parte da circunferência , percorrida no sentido horário do ponto ao ponto .
Use o Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremantes de , sujeito à condição .
Estabeleça um algoritmo para encontrar e classificar os extremantes de uma função de duas variáveis.