Calcule
ointC(x d x-z d y+2 y d z)
onde C é o triângulo que sai de (0,0,0), na direção de (1,1,0) e, em seguida, para (1,1,1) e volta para (0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de integral de linha sobre uma curva ointC(x , dx - z , dy + 2 y , dz) . A expressão que a gente quer calcular é:
A curva é um triângulo que vai de para , depois para e volta para . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada parte do triângulo e calcular a integral em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva em três segmentos:
  1. De para
  2. De para
  3. De de volta para
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento AB: De x = t, y = t, z = 0 para dx = dt, dy = dt, dz = 0
Vamos parametrizar esse caminho usando um parâmetro integralAB (x , dx - z , dy + 2 y , dz) = integral0^1 (t cdot dt - 0 cdot dt + 2t cdot 0) = integral0^1 t , dt = [ t^22 ]0^1 = 12 que varia de 0 a 1:
Então, as derivadas são:
Substituindo na integral:

Passo 4

Segmento BC: De x = 1, y = 1, z = t para dx = 0, dy = 0, dz = dt
Aqui, só integralBC (x , dx - z , dy + 2 y , dz) = integral0^1 (1 cdot 0 - t cdot 0 + 2 cdot 1 cdot dt) = integral0^1 2 , dt = 2t gr|0^1 = 2 muda de 0 para 1, então parametrizamos com de 0 a 1:
Derivadas:
Substituindo na integral:

Passo 5

Segmento CA: De x = 1 - t, y = 1 - t, z = 1 - t para dx = -dt, dy = -dt, dz = -dt
Para esse segmento, todas as coordenadas variam de 1 para 0. Podemos usar integralCA (x , dx - z , dy + 2 y , dz) = integral0^1 [(1 - t)(-dt) - (1 - t)(-dt) + 2(1 - t)(-dt)] de 0 a 1 para parametrizar:
= integral0^1 [-(1 - t) + (1 - t) - 2(1 - t)] dt = integral0^1 -2(1 - t) , dt
Derivadas:
= -2 [ t - t^22 ]0^1 = -2 (1 - 12) = -2 cdot 12 = -1
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
12 + 2 - 1 = 32
Portanto, o valor da integral é .

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