Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções. As funções que temos são:
Vamos precisar entender como essas funções se relacionam com a EDO e usar a teoria de equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma EDO linear homogênea de ordem , temos soluções linearmente independentes que formam uma base de soluções. Como temos cinco funções diferentes aqui, estamos procurando uma EDO de quinta ordem.
Além disso, cada solução da forma indica que é uma raiz da equação característica associada à EDO. No caso da função constante , ela pode ser vista como , então também é uma raiz.

Passo 3

Vamos identificar os valores de para cada função:
Esses valores de serão as raízes da nossa equação característica.

Passo 4

Com as raízes identificadas, podemos construir a equação característica da EDO. A equação característica para uma EDO linear homogênea com soluções exponenciais é dada por:
Substituindo os valores de :

Passo 5

Agora, vamos expandir essa equação característica para obter a forma polinomial que nos ajudará a escrever a EDO. Calculando passo a passo:
Primeiro, multipliquemos os termos:
Podemos agrupar da seguinte forma:
Agora, multiplicamos os dois primeiros fatores:
Por fim, multiplicamos pelo :

Resposta

A EDO linear homogênea desejada é:

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Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:
Mostre que
onde é a curva de a .
Calcule
, onde é a parte da circunferência , percorrida no sentido horário do ponto ao ponto .