Mostre que
onde é a curva de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é um conceito da matéria de Cálculo Vetorial. Para isso, a gente vai precisar usar a parametrização da curva e substituir na integral. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por e vai de até . Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de , e em relação a para substituir nos diferenciais:

Passo 4

Vamos substituir , , , , e na integral original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
    • Expande
    • Multiplicando por :
  3. Terceiro termo:
Agora, somando todos os termos:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos avaliar de até :
Vamos somar as frações:

Resposta

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