Mostre que
integralC(x y z d x+[y-z]^2 d y+2 z x d z)=8584
onde C é a curva C: r(t)=(t, t^2, t^3) de (0,0,0) a (1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é um conceito da matéria de Cálculo Vetorial. Para isso, a gente vai precisar usar a parametrização da curva e substituir na integral. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por e vai de até . Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de , e em relação a para substituir nos diferenciais:

Passo 4

Vamos substituir integralC(x y z ,dx + [y - z]^2 ,dy + 2 z x ,dz) , integral0^1 (t cdot t^2 cdot t^3 cdot dt + [t^2 - t^3]^2 cdot 2t,dt + 2 cdot t^3 cdot t cdot 3t^2,dt) , , , e na integral original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. Primeiro termo: integral0^1 (t^6 + 2t^5 - 4t^6 + 2t^7 + 6t^6) dt = integral0^1 (2t^5 + 3t^6 + 2t^7) dt
  2. Segundo termo:
    • Expande
    • Multiplicando por :
  3. Terceiro termo:
Agora, somando todos os termos:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2t^5 ,dt = 2 cdot t^66 = t^63
integral 3t^6 ,dt = 3 cdot t^77 = 3t^77
integral 2t^7 ,dt = 2 cdot t^88 = t^84
Então, a integral fica:
( t^63 + 3t^77 + t^84 ) |0^1

Passo 7

Vamos avaliar de ( 1^63 + 3 cdot 1^77 + 1^84 ) - ( 0^63 + 3 cdot 0^77 + 0^84 ) = 13 + 37 + 14 até 13 + 37 + 14 = 2884 + 3684 + 2184 = 8584 :
Vamos somar as frações:

Resposta

integralC(x y z ,dx + [y - z]^2 ,dy + 2 z x ,dz) = 8584

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