Defina para funções de várias variáveis: © Ponto de Mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos o que é um Ponto de Mínimo para funções de várias variáveis. Estamos estudando Cálculo Multivariável, e para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como derivadas parciais e condições de mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de mínimo. Em funções de várias variáveis, um ponto de mínimo é um ponto no domínio da função onde o valor da função é menor que em todos os pontos próximos. Imagine que você está no ponto mais baixo de uma colina; qualquer pequeno movimento daqui fará com que você suba.
Passo 3
Para identificar um ponto de mínimo, a gente usa as derivadas parciais. As derivadas parciais nos mostram a taxa de variação da função em cada direção. No ponto de mínimo, todas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero. Isso é parecido com encontrar pontos onde a inclinação é zero em funções de uma variável.
Passo 4
Mas não é só isso! Também precisamos verificar a concavidade da função nesse ponto. Para isso, usamos a Matriz Hessiana, que é uma matriz composta pelas segundas derivadas parciais da função. Se a Matriz Hessiana for definida positiva (ou seja, todas as suas autovalores são positivos), então o ponto crítico é realmente um ponto de mínimo.
Resposta
Um Ponto de Mínimo para uma função de várias variáveis é um ponto no domínio onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são zero e a Matriz Hessiana, formada pelas segundas derivadas parciais, é definida positiva. Nesse ponto, o valor da função é menor que em todos os pontos próximos, representando o menor valor local da função.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a parte da circunferência
, percorrida no sentido horário do ponto
ao ponto
.
Mostre que
onde
é a curva
de
a
.
Calcule
onde
é o triângulo que sai de
, na direção de
e, em seguida, para
e volta para
.
Use o Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremantes de
, sujeito à condição
.