Defina para funções de várias variáveis: © Ponto de Mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos o que é um Ponto de Mínimo para funções de várias variáveis. Estamos estudando Cálculo Multivariável, e para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como derivadas parciais e condições de mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de mínimo. Em funções de várias variáveis, um ponto de mínimo é um ponto no domínio da função onde o valor da função é menor que em todos os pontos próximos. Imagine que você está no ponto mais baixo de uma colina; qualquer pequeno movimento daqui fará com que você suba.

Passo 3

Para identificar um ponto de mínimo, a gente usa as derivadas parciais. As derivadas parciais nos mostram a taxa de variação da função em cada direção. No ponto de mínimo, todas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero. Isso é parecido com encontrar pontos onde a inclinação é zero em funções de uma variável.

Passo 4

Mas não é só isso! Também precisamos verificar a concavidade da função nesse ponto. Para isso, usamos a Matriz Hessiana, que é uma matriz composta pelas segundas derivadas parciais da função. Se a Matriz Hessiana for definida positiva (ou seja, todas as suas autovalores são positivos), então o ponto crítico é realmente um ponto de mínimo.

Resposta

Um Ponto de Mínimo para uma função de várias variáveis é um ponto no domínio onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são zero e a Matriz Hessiana, formada pelas segundas derivadas parciais, é definida positiva. Nesse ponto, o valor da função é menor que em todos os pontos próximos, representando o menor valor local da função.

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Calcule
, onde é a parte da circunferência , percorrida no sentido horário do ponto ao ponto .
Mostre que
onde é a curva de a .
Calcule
onde é o triângulo que sai de , na direção de e, em seguida, para e volta para .
Use o Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremantes de , sujeito à condição .