Dizemos que um campo tem simetria de rotação de quando . Sejam os arcos do círculo contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário.
(a) Mostre que se tem simetria de rotação de , então
(b) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão fala sobre campos vetoriais com simetria de rotação de 90 graus e integrais de linha sobre partes específicas de um círculo. Para resolver, vamos precisar entender o que é simetria de rotação, como isso afeta as integrais de linha em diferentes quadrantes e, para a segunda parte, calcular uma integral específica sobre um arco do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o campo vetorial ter simetria de rotação de . Isso quer dizer que se girarmos as coordenadas em 90 graus, o campo vetorial também gira de maneira correspondente. Matematicamente, isso é expresso por:
Essa propriedade será crucial para mostrar que as integrais de linha sobre os diferentes arcos do círculo são iguais.

Passo 3

Agora, vamos considerar os arcos do círculo nos quatro quadrantes. Como o campo tem simetria de rotação de 90 graus, ao rotacionarmos o arco em 90 graus, ele se torna o arco , e assim por diante para e .

Passo 4

Devido à simetria do campo, a integral de linha sobre deve ser igual à integral sobre , que por sua vez é igual à integral sobre e . Isso ocorre porque a rotação de 90 graus não altera o valor da integral devido à simetria do campo vetorial.
Portanto, podemos afirmar que:

Passo 5

Agora, para a parte (b) do exercício, precisamos calcular a integral de linha:
Vamos identificar e .

Passo 6

Para calcular essa integral, podemos parametrizar o arco , que está no primeiro quadrante. No círculo unitário, uma parametrização conveniente é:
Derivando, temos:

Passo 7

Substituindo a parametrização na integral:
Simplificando os termos:

Passo 8

Para integrar , podemos usar a identidade trigonométrica:
Portanto, a integral se torna:

Passo 9

Usando a identidade , temos:
Integrando termo a termo:

Resposta

A integral vale .

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Seja a região anular entre os círculos e , calcule o volume da região limitada inferiormente por e superiormente pelo paraboloide voltado para baixo dado por . S: u.v.
Calcule os limites. Justifique.
Encontre a derivada da função. .

  1. Observe que é uma curva aberta. Qual é a estratégia para utilizar o Teorema de Green nesse caso? ↩︎