Dizemos que um campo
tem simetria de rotação de
quando
. Sejam
os arcos do círculo
contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário.
(a) Mostre que se
tem simetria de rotação de
, então
(b) Calcule
.
(a) Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão fala sobre campos vetoriais com simetria de rotação de 90 graus e integrais de linha sobre partes específicas de um círculo. Para resolver, vamos precisar entender o que é simetria de rotação, como isso afeta as integrais de linha em diferentes quadrantes e, para a segunda parte, calcular uma integral específica sobre um arco do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o campo vetorial
ter simetria de rotação de
. Isso quer dizer que se girarmos as coordenadas em 90 graus, o campo vetorial também gira de maneira correspondente. Matematicamente, isso é expresso por:
Essa propriedade será crucial para mostrar que as integrais de linha sobre os diferentes arcos do círculo são iguais.
Passo 3
Agora, vamos considerar os arcos
do círculo
nos quatro quadrantes. Como o campo tem simetria de rotação de 90 graus, ao rotacionarmos o arco
em 90 graus, ele se torna o arco
, e assim por diante para
e
.
Passo 4
Devido à simetria do campo, a integral de linha sobre
deve ser igual à integral sobre
, que por sua vez é igual à integral sobre
e
. Isso ocorre porque a rotação de 90 graus não altera o valor da integral devido à simetria do campo vetorial.
Portanto, podemos afirmar que:
Passo 5
Agora, para a parte (b) do exercício, precisamos calcular a integral de linha:
Vamos identificar
e
.
Passo 6
Para calcular essa integral, podemos parametrizar o arco
, que está no primeiro quadrante. No círculo unitário, uma parametrização conveniente é:
Derivando, temos:
Passo 7
Substituindo a parametrização na integral:
Simplificando os termos:
Passo 8
Para integrar
, podemos usar a identidade trigonométrica:
Portanto, a integral se torna:
Passo 9
Usando a identidade
, temos:
Integrando termo a termo:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Seja
a região anular entre os círculos
e
, calcule o volume da região limitada inferiormente por
e superiormente pelo paraboloide voltado para baixo dado por
. S:
u.v.
Calcule os limites. Justifique.
Encontre a derivada da função.
.