Dizemos que um campo F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) tem simetria de rotação de 90^circ quando F(-y, x)= (-Q(x, y), P(x, y)). Sejam C1, C2, C3, C4 os arcos do círculo C: x^2+y^2=1 contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário.
(a) Mostre que se F tem simetria de rotação de 90^circ, então
integralC1 F cdot d r=integralC2 F cdot d r=integralC3 F cdot d r=integralC4 F cdot d r
(b) Calcule integralC1-x^2 y d x+x y^2 d y.

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão fala sobre campos vetoriais com simetria de rotação de 90 graus e integrais de linha sobre partes específicas de um círculo. Para resolver, vamos precisar entender o que é simetria de rotação, como isso afeta as integrais de linha em diferentes quadrantes e, para a segunda parte, calcular uma integral específica sobre um arco do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o campo vetorial F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) ter simetria de rotação de 90^circ. Isso quer dizer que se girarmos as coordenadas em 90 graus, o campo vetorial também gira de maneira correspondente. Matematicamente, isso é expresso por:
F(-y, x) = (-Q(x, y), P(x, y))
Essa propriedade será crucial para mostrar que as integrais de linha sobre os diferentes arcos do círculo são iguais.

Passo 3

Agora, vamos considerar os arcos C1, C2, C3, C4 do círculo x^2 + y^2 = 1 nos quatro quadrantes. Como o campo tem simetria de rotação de 90 graus, ao rotacionarmos o arco C1 em 90 graus, ele se torna o arco C2, e assim por diante para C3 e C4.

Passo 4

Devido à simetria do campo, a integral de linha sobre C1 deve ser igual à integral sobre C2, que por sua vez é igual à integral sobre C3 e C4. Isso ocorre porque a rotação de 90 graus não altera o valor da integral devido à simetria do campo vetorial.
Portanto, podemos afirmar que:
integralC1 F cdot d r = integralC2 F cdot d r = integralC3 F cdot d r = integralC4 F cdot d r

Passo 5

Agora, para a parte (b) do exercício, precisamos calcular a integral de linha:
integralC1 -x^2 y , dx + x y^2 , dy
Vamos identificar P(x, y) = -x^2 y e Q(x, y) = x y^2.

Passo 6

Para calcular essa integral, podemos parametrizar o arco C1, que está no primeiro quadrante. No círculo unitário, uma parametrização conveniente é:
x = cos theta y = sin theta para theta in [0, pi2]
Derivando, temos:
dx = -sin theta , dtheta dy = cos theta , dtheta

Passo 7

Substituindo a parametrização na integral:
integral0^pi2 [ -(cos^2 theta)(sin theta) (-sin theta) + (cos theta)(sin^2 theta)(cos theta) ] dtheta
Simplificando os termos:
integral0^pi2 [cos^2 theta sin^2 theta + cos^2 theta sin^2 theta] dtheta = integral0^pi2 2 cos^2 theta sin^2 theta , dtheta

Passo 8

Para integrar 2 cos^2 theta sin^2 theta, podemos usar a identidade trigonométrica:
cos^2 theta sin^2 theta = 14 sin^2 2theta
Portanto, a integral se torna:
2 times 14 integral0^pi2 sin^2 2theta , dtheta = 12 integral0^pi2 sin^2 2theta , dtheta

Passo 9

Usando a identidade sin^2 x = 1 - cos 2x2, temos:
12 integral0^pi2 1 - cos 4theta2 , dtheta = 14 integral0^pi2 (1 - cos 4theta) , dtheta
Integrando termo a termo:
14 [ theta - sin 4theta4 ]0^pi2 = 14 ( pi2 - 0 ) = pi8

Resposta

A integral integralC1 -x^2 y , dx + x y^2 , dy vale pi8.

Exercícios relacionados