Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) = (3 - y * e^(-x)) * i + e^(-x) * j
ao mover uma partícula do ponto 0,1 a 1,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula do ponto até . Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, especificamente com o conceito de trabalho realizado por um campo de força.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Onde é o campo de força e é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho de a . Um caminho simples é a reta que liga esses dois pontos. Podemos parametrizar esse caminho usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
Assim,

Passo 4

Agora, substituímos e no campo de força :
E o produto escalar fica:

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, separamos a integral:
A primeira parte é fácil:

Passo 7

Para a segunda integral , usamos integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula :
Então, avaliando de 0 a 1:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Aproximando :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao mover a partícula de a é aproximadamente unidades de trabalho.

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