Verifique o Teorema de Stokes, em que
e
é limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
, onde a região
é limitada pelo círculo
.
Conteúdo da matéria: O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da fronteira da superfície.
O que vamos precisar:
- Entender o que é a rotacional de um campo vetorial.
- Calcular a integral de superfície da rotacional.
- Calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo do contorno
. - Comparar os dois resultados para verificar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a rotacional do campo vetorial
. A rotacional (ou curl) de
em três dimensões é dada por:
No nosso caso, como
tem apenas componentes em
e
, podemos considerar
. Assim, a rotacional simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de superfície da rotacional sobre a região
. Como
é o círculo
, podemos imaginar que a superfície
é o disco unidade no plano
.
A integral de superfície fica:
A área de
é a área do círculo unidade, que é
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha do campo
ao longo da fronteira
. Para isso, vamos parametrizar o contorno
.
Podemos parametrizar
usando coordenadas polares:
O vetor diferencial
é:
Então, a integral de linha fica:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
Ambas as integrais, tanto a de superfície da rotacional quanto a de linha do campo vetorial, resultaram em
. Assim, o Teorema de Stokes está verificado para o campo
na região delimitada por
.
Exercícios relacionados
Calcule
, com
, orientado no sentido anti-horário.
Seja
. O Teorema de Green pode ser aplicado à
?
Seja
a região interna à elipse
e externa ao círculo
. Calcule
. Considere
é a fronteira de
.
Calcule
, com
a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com
.