Verifique o Teorema de Stokes, em que e é limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial , onde a região é limitada pelo círculo .
Conteúdo da matéria: O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da fronteira da superfície.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é a rotacional de um campo vetorial.
  2. Calcular a integral de superfície da rotacional.
  3. Calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo do contorno .
  4. Comparar os dois resultados para verificar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a rotacional do campo vetorial . A rotacional (ou curl) de em três dimensões é dada por:
No nosso caso, como tem apenas componentes em e , podemos considerar . Assim, a rotacional simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície da rotacional sobre a região . Como é o círculo , podemos imaginar que a superfície é o disco unidade no plano .
A integral de superfície fica:
A área de é a área do círculo unidade, que é :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha do campo ao longo da fronteira . Para isso, vamos parametrizar o contorno .
Podemos parametrizar usando coordenadas polares:
O vetor diferencial é:
Então, a integral de linha fica:
Substituindo e :
Simplificando:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Ambas as integrais, tanto a de superfície da rotacional quanto a de linha do campo vetorial, resultaram em . Assim, o Teorema de Stokes está verificado para o campo na região delimitada por .

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