Verifique o Teorema de Stokes, em que F(x, y) = 2y i + 5x j e R é limitada por x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial , onde a região R é limitada pelo círculo .
Conteúdo da matéria: O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da fronteira da superfície.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é a rotacional de um campo vetorial.
  2. Calcular a integral de superfície da rotacional.
  3. Calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo do contorno R.
  4. Comparar os dois resultados para verificar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a rotacional do campo vetorial F. A rotacional (ou curl) de F em três dimensões é dada por:
No nosso caso, como F tem apenas componentes em x e y, podemos considerar . Assim, a rotacional simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície da rotacional sobre a região R. Como R é o círculo , podemos imaginar que a superfície S é o disco unidade no plano xy.
A integral de superfície fica:
A área de S é a área do círculo unidade, que é pi:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha do campo F ao longo da fronteira R. Para isso, vamos parametrizar o contorno R.
Podemos parametrizar R usando coordenadas polares:
O vetor diferencial é:
Então, a integral de linha fica:
Substituindo x e y:
Simplificando:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Ambas as integrais, tanto a de superfície da rotacional quanto a de linha do campo vetorial, resultaram em . Assim, o Teorema de Stokes está verificado para o campo na região delimitada por .

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