Calcule
com
e
a circunferência de centro na origem e raio 1 , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
. A curva
é uma circunferência de raio 1, centrada na origem e orientada no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência
. Como é uma circunferência de raio 1 centrada na origem, podemos usar coordenadas trigonométricas. Vou definir
como o parâmetro que varia de
a
:
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor diferencial
em termos de
. Derivando
e
em relação a
:
Então,
Passo 4
Vamos substituir
e
na função
:
Como
, simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Fazendo o produto escalar:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Agora, basta integrar essa expressão de
a
:
Resposta
Exercícios relacionados
Usando integrais de linha, mostre que o campo vetorial
não é conservativo. Obs: Deve-se mostrar que a integral de linha do campo depende do caminho.
Calcule
, com
.
Calcule
com
e
de
a
.
(0,5) Use a integração dupla para calcular a área da região do plano
compreendida entre os gráficos das funções
e
, (esboçar o gráfico da região.). Conclua que o resultado será
.