Calcule integralC F cdot d s com F(x, y)=yx^2+y^2 i-xx^2+y^2 j e C a circunferência de centro na origem e raio 1 , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é uma circunferência de raio 1, centrada na origem e orientada no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência x = cos(theta) . Como é uma circunferência de raio 1 centrada na origem, podemos usar coordenadas trigonométricas. Vou definir y = sin(theta) como o parâmetro que varia de a :

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor diferencial dxdtheta = -sin(theta) em termos de dydtheta = cos(theta) . Derivando ds = drdtheta dtheta = ( dxdtheta i + dydtheta j ) dtheta = ( -sin(theta) i + cos(theta) j ) dtheta e em relação a :
Então,

Passo 4

Vamos substituir F(x, y) = sin(theta)cos^2(theta) + sin^2(theta) i - cos(theta)cos^2(theta) + sin^2(theta) j e F(x, y) = sin(theta) i - cos(theta) j na função :
Como , simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot ds = ( sin(theta) i - cos(theta) j ) cdot ( -sin(theta) i + cos(theta) j ) dtheta :
F cdot ds = ( sin(theta) cdot (-sin(theta)) ) + ( -cos(theta) cdot cos(theta) ) = -sin^2(theta) - cos^2(theta)
Fazendo o produto escalar:
F cdot ds = -1
Sabendo que , temos:

Passo 6

Agora, basta integrar essa expressão de integralC F cdot ds = integral0^2pi -1 , dtheta = - integral0^2pi dtheta = -2pi a :

Resposta

integralC F cdot ds = -2pi

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