Calcule com e a circunferência de centro na origem e raio 1 , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é uma circunferência de raio 1, centrada na origem e orientada no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência . Como é uma circunferência de raio 1 centrada na origem, podemos usar coordenadas trigonométricas. Vou definir como o parâmetro que varia de a :

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor diferencial em termos de . Derivando e em relação a :
Então,

Passo 4

Vamos substituir e na função :
Como , simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Fazendo o produto escalar:
Sabendo que , temos:

Passo 6

Agora, basta integrar essa expressão de a :

Resposta

Exercícios relacionados

Usando integrais de linha, mostre que o campo vetorial não é conservativo. Obs: Deve-se mostrar que a integral de linha do campo depende do caminho.
Calcule , com .
Calcule com e de a .
(0,5) Use a integração dupla para calcular a área da região do plano compreendida entre os gráficos das funções e , (esboçar o gráfico da região.). Conclua que o resultado será .