(0,5) Use a integração dupla para calcular a área da região do plano
compreendida entre os gráficos das funções
e
, (esboçar o gráfico da região.). Conclua que o resultado será
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a área da região no plano
que está entre os gráficos das funções
e
. Para isso, vamos usar a integração dupla, que é uma técnica de cálculo para encontrar áreas e volumes sobre regiões em duas dimensões. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas funções. Isso significa resolver a equação
. Vamos fazer isso igualando as duas expressões:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando os dois lados por
:
Então, tirando a raiz quadrada:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se interceptam, vamos determinar qual delas está acima e qual está abaixo no intervalo de
a
. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Com essas informações, podemos configurar a integral dupla para calcular a área. A área
será dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região é
.
Exercícios relacionados
Calcule
com
e
de
a
.
Calcule
com
e
a circunferência de centro na origem e raio 1 , orientada no sentido anti-horário.
Nos Problemas 31 e 32,
é um ponto singular regular da equação diferencial indicada. Mostre que as raízes indiciais da singularidade diferem por um inteiro. Use a relação de recorrência determinada pelo método de Frobenius primeiro com a maior raiz
. Quantas soluções você obteve? A seguir, use a relação de recorrência com a menor raiz
. Quantas soluções você obteve?