(0,5) Use a integração dupla para calcular a área da região do plano x y compreendida entre os gráficos das funções y = x e y = -x^2 + x + 1, (esboçar o gráfico da região.). Conclua que o resultado será 4/3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a área da região no plano xy que está entre os gráficos das funções e . Para isso, vamos usar a integração dupla, que é uma técnica de cálculo para encontrar áreas e volumes sobre regiões em duas dimensões. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas funções. Isso significa resolver a equação . Vamos fazer isso igualando as duas expressões:
Subtraindo x de ambos os lados:
Multiplicando os dois lados por -1:
Então, tirando a raiz quadrada:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e x = 1.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se interceptam, vamos determinar qual delas está acima e qual está abaixo no intervalo de a x = 1. Vamos escolher um valor de x dentro desse intervalo, por exemplo, x = 0:
Para :
Para :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Com essas informações, podemos configurar a integral dupla para calcular a área. A área A será dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar:
Calculando nos limites:
Para x = 1:
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região é 4/3.

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