Calcule com e de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular , onde e a curva é dada por , indo de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é , podemos escolher como parâmetro. Vamos definir:
onde varia de 1 a 2, já que esses são os valores de nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o diferencial de vetor . Derivando e em relação a :
Assim, o vetor diferencial fica:

Passo 4

Vamos substituir e na integral. Primeiro, expressamos em termos de :
Agora, o produto escalar é:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar a expressão:
Calculando cada parte:
Portanto, a integral completa é:

Passo 6

Vamos avaliar nos limites de 1 a 2:
Para :
Para :
A diferença é:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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