Calcule integralC F cdot d s com F(x, y)=2 y i+4 y j e C: y=x^2 de (1,1) a (2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular , onde e a curva é dada por , indo de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva x = t e y = t^2 . Como é , podemos escolher como parâmetro. Vamos definir:
onde varia de 1 a 2, já que esses são os valores de nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o diferencial de vetor dxdt = 1 e dydt = 2t . Derivando ds = ( dxdt i + dydt j ) dt = i + 2t j , dt e em relação a :
Assim, o vetor diferencial fica:

Passo 4

Vamos substituir F(t) = 2y i + 4y j = 2t^2 i + 4t^2 j e F cdot ds = (2t^2) cdot 1 + (4t^2) cdot 2t = 2t^2 + 8t^3 na integral. Primeiro, expressamos integralC F cdot ds = integral1^2 (2t^2 + 8t^3) , dt em termos de :
Agora, o produto escalar é:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar a expressão:
integral (2t^2 + 8t^3) , dt = integral 2t^2 , dt + integral 8t^3 , dt
Calculando cada parte:
integral 2t^2 , dt = 2 cdot t^33 = 23t^3
integral 8t^3 , dt = 8 cdot t^44 = 2t^4
Portanto, a integral completa é:
23t^3 + 2t^4 g|1^2

Passo 6

Vamos avaliar nos limites de 1 a 2:
Para 23(2)^3 + 2(2)^4 = 23 cdot 8 + 2 cdot 16 = 163 + 32 = 163 + 963 = 1123 :
23(1)^3 + 2(1)^4 = 23 + 2 = 23 + 63 = 83
Para 1123 - 83 = 1043 :
A diferença é:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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