Calcule integralC 2 z d x+2 x d y+2 y d z, com C: x=3 t, y=4 t, z=5 t, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC 2 z , dx + 2 x , dy + 2 y , dz ao longo da curva C definida por x=3t, y=4t, z=5t para t entre 0 e 1. Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e parametrização de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela soma as contribuições de uma função ao longo de uma curva no espaço. Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva C em termos de uma variável, que no caso é t, variando de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos expressar as derivadas dx, dy e dz em termos de t. Sabemos que:
x = 3t Rightarrow dx = 3 , dt
y = 4t Rightarrow dy = 4 , dt
z = 5t Rightarrow dz = 5 , dt

Passo 4

Substituindo x, y, z, dx, dy e dz na integral original:
integral0^1 [2z cdot dx + 2x cdot dy + 2y cdot dz] = integral0^1 [2(5t)(3 , dt) + 2(3t)(4 , dt) + 2(4t)(5 , dt)]
= integral0^1 [30t , dt + 24t , dt + 40t , dt] = integral0^1 94t , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 94t , dt = 94 integral0^1 t , dt = 94 [ t^22 ]0^1 = 94 ( 12 - 0 ) = 47

Resposta

O valor da integral é 47.

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