Usando integrais de linha, mostre que o campo vetorial
não é conservativo. Obs: Deve-se mostrar que a integral de linha do campo depende do caminho.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo vetorial
não é conservativo usando integrais de linha. Isso significa que vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais conservativos e como calcular integrais de linha em diferentes caminhos para ver se o resultado muda.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial que, quando derivada, dá exatamente o campo vetorial. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, ou seja, sempre vai dar o mesmo resultado.
Passo 3
Para mostrar que o campo
não é conservativo, precisamos encontrar dois caminhos diferentes entre dois pontos e calcular a integral de linha em cada um. Se os resultados forem diferentes, prova que a integral depende do caminho, e portanto, o campo não é conservativo.
Passo 4
Vamos escolher dois caminhos simples entre os pontos
e
. O primeiro caminho, vamos seguir primeiro no eixo x até
e depois subir até
. O segundo caminho, vamos subir primeiro no eixo y até
e depois seguir até
.
Passo 5
Vamos calcular a integral no primeiro caminho:
- De
a : Aqui, , então . Então, a integral nesta parte é 0. - De
a : Aqui, , então . A integral é:
Então, a integral total no primeiro caminho é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral no segundo caminho:
- De
a : Aqui, , então . A integral nesta parte é 0. - De
a : Aqui, , então . A integral é:
Então, a integral total no segundo caminho é
.
Resposta
Como obtemos integrais de linha diferentes (
e
) para caminhos distintos entre os mesmos pontos, isso mostra que a integral de linha depende do caminho escolhido. Portanto, o campo vetorial
não é conservativo.
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Calcule
, com
.
Calcule
com
e
a circunferência de centro na origem e raio 1 , orientada no sentido anti-horário.
Calcule
com
e
de
a
.