Usando integrais de linha, mostre que o campo vetorial F(x, y) = x * y * i + x * y^2 * j não é conservativo. Obs: Deve-se mostrar que a integral de linha do campo depende do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo vetorial F(x, y) = x * y * i + x * y^2 * j não é conservativo usando integrais de linha. Isso significa que vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais conservativos e como calcular integrais de linha em diferentes caminhos para ver se o resultado muda.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial que, quando derivada, dá exatamente o campo vetorial. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, ou seja, sempre vai dar o mesmo resultado.

Passo 3

Para mostrar que o campo F não é conservativo, precisamos encontrar dois caminhos diferentes entre dois pontos e calcular a integral de linha em cada um. Se os resultados forem diferentes, prova que a integral depende do caminho, e portanto, o campo não é conservativo.

Passo 4

Vamos escolher dois caminhos simples entre os pontos (0,0) e 1,1. O primeiro caminho, vamos seguir primeiro no eixo x até 1,0 e depois subir até 1,1. O segundo caminho, vamos subir primeiro no eixo y até 0,1 e depois seguir até 1,1.

Passo 5

Vamos calcular a integral no primeiro caminho:
  1. De (0,0) a 1,0: Aqui, y = 0, então . Então, a integral nesta parte é 0.
  2. De 1,0 a 1,1: Aqui, x = 1, então . A integral é:
Então, a integral total no primeiro caminho é 1/3.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral no segundo caminho:
  1. De (0,0) a 0,1: Aqui, x = 0, então . A integral nesta parte é 0.
  2. De 0,1 a 1,1: Aqui, y = 1, então . A integral é:
Então, a integral total no segundo caminho é 1/2.

Resposta

Como obtemos integrais de linha diferentes ( 1/3 e 1/2) para caminhos distintos entre os mesmos pontos, isso mostra que a integral de linha depende do caminho escolhido. Portanto, o campo vetorial F(x, y) = x * y * i + x * y^2 * j não é conservativo.

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