Determine se o campo F é conservativo. Em caso afirmativo, encontre f tal que nabla f = F.
F(x, y) = (cos(y) + x, y - x * sen(y)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, temos que encontrar uma função tal que o gradiente de seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função tal que:
Isso implica que:
Uma condição prática para verificar se é conservativo é checar se as derivadas cruzadas são iguais:

Passo 3

Vamos identificar e do nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que:
Portanto, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função tal que . Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que surge da integração.

Passo 5

Em seguida, usamos a segunda condição para determinar . Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a :
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão de :
Essa é a função potencial que buscamos, onde pode ser qualquer constante real.

Resposta

O campo é conservativo e uma função tal que é:
Onde é uma constante real.

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