Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, temos que encontrar uma função
tal que o gradiente de
seja igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função
tal que:
Isso implica que:
Uma condição prática para verificar se
é conservativo é checar se as derivadas cruzadas são iguais:
Passo 3
Vamos identificar
e
do nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que:
Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função
tal que
. Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que surge da integração.
Passo 5
Em seguida, usamos a segunda condição
para determinar
. Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando, temos:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão de
:
Essa é a função potencial que buscamos, onde
pode ser qualquer constante real.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função
tal que
é:
Onde
é uma constante real.