Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a circunferência
e
é a normal externa. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência que relaciona integrais de superfície com integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de
, denotada por
, é a soma das derivadas parciais dos componentes de
. Então, para
, temos:
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema da Divergência em duas dimensões, sabemos que:
onde
é a região interna à circunferência
.
Passo 4
Substituindo a divergência que calculamos:
A integral
representa a área de
, que é a área de um círculo de raio 1.
Passo 5
A área de um círculo de raio
é
. Como
, temos:
Passo 6
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem: