Calcule integralC F cdot N d s.
F(x, y)=x i+y j, C é a circunferência x^2+y^2=1 e n a normal exterior éê

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde . A curva é a circunferência e é a normal externa. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência que relaciona integrais de superfície com integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y = partial xpartial x + partial ypartial y = 1 + 1 = 2 , denotada por , é a soma das derivadas parciais dos componentes de . Então, para , temos:

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema da Divergência em duas dimensões, sabemos que:
integralC F cdot N , ds = integral duplaD nabla cdot F , dA
onde é a região interna à circunferência .

Passo 4

Substituindo a divergência que calculamos:
integral duplaD 2 , dA = 2 integral duplaD dA
A integral representa a área de , que é a área de um círculo de raio 1.

Passo 5

A área de um círculo de raio integral duplaD dA = pi (1)^2 = pi é . Como , temos:

Passo 6

Então, substituindo de volta:
2 integral duplaD dA = 2 pi

Resposta

A integral vale .

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