Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos descobrir como a função muda em relação a cada variável, uma de cada vez. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em relação a
e a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que é denotada por
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como se fosse uma constante, ou seja, não mudamos
durante a derivação.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função
em relação a
:
- O termo
é tratado como uma constante porque não tem . A derivada de uma constante é zero. - O termo
é uma função de . A derivada de em relação a é , já que é constante e a derivada de é 1.
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, denotada por
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
Passo 5
Derivando cada termo da função
em relação a
:
- Para o termo
, a derivada em relação a é . - Para o termo
, a derivada em relação a é . Aqui, multiplicamos o coeficiente pela derivada de , que é , resultando em .
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: