Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y) = y^4 + 5xy^3

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos descobrir como a função muda em relação a cada variável, uma de cada vez. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , que é denotada por . Quando derivamos em relação a , tratamos como se fosse uma constante, ou seja, não mudamos durante a derivação.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função em relação a :
  • O termo é tratado como uma constante porque não tem . A derivada de uma constante é zero.
  • O termo é uma função de . A derivada de em relação a é , já que é constante e a derivada de é 1.
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , denotada por . Desta vez, tratamos como uma constante.

Passo 5

Derivando cada termo da função em relação a :
  • Para o termo , a derivada em relação a é .
  • Para o termo , a derivada em relação a é . Aqui, multiplicamos o coeficiente pela derivada de , que é , resultando em .
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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