Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
u = t e^(w / t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis independentes, neste caso, e . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é o produto de e . Então, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Matematicamente:
Calculando cada parte:
  • Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .
Então:
Agora substituímos de volta:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função . Aqui, é considerado constante em relação a , então a derivada de em relação a é zero. Assim, usamos a regra da constante multiplicada pela derivada.
Matematicamente:
Para , usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de em relação a é , onde .
Então:
Agora substituímos de volta:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:

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