Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função
muda em relação a cada uma das variáveis independentes, neste caso,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é o produto de
e
. Então, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Matematicamente:
Calculando cada parte:
-
- Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .
Então:
Agora substituímos de volta:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
. Aqui,
é considerado constante em relação a
, então a derivada de
em relação a
é zero. Assim, usamos a regra da constante multiplicada pela derivada.
Matematicamente:
Para
, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Então:
Agora substituímos de volta:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
Calcule
.
Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
.
Determine: