Determine o comprimento da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento da curva definida por
e
para
entre
e
. Isso envolve Cálculo, especificamente o cálculo do comprimento de uma curva parametrizada. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Essas derivadas nos ajudam a entender como a curva está se comportando em cada ponto.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas, que é:
Neste caso,
e
.
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O comprimento da curva
é 16 unidades.
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Determine as equações paramétricas que representam o movimento de uma particula ao longo da elipse
, com ponto inicial
e percorrida no sentido anti-horário.
Calcule
.