Determine o comprimento da curva C: { x(t) = 2(t - sen(t)), y(t) = 2(1 - cos(t)), t ∈ [0, 2*pi] }.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento da curva definida por e para entre e . Isso envolve Cálculo, especificamente o cálculo do comprimento de uma curva parametrizada. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a . Essas derivadas nos ajudam a entender como a curva está se comportando em cada ponto.
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas, que é:
Neste caso, e .
Substituindo e :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, a integral fica:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento da curva é 16 unidades.

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