Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
4 x^{2}+9 y^{2}-24 x+18 y+9=0
4 x^{2}+9 y^{2}-24 x+18 y+9=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do segundo grau para encontrar as equações reduzidas das cônicas envolvidas. O conteúdo que vamos usar aqui é o de cônicas, especificamente elipses, hipérboles e parábolas. Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação colocando os termos de
e
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Completamos o quadrado para
:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos simplificar os termos constantes:
Passo 6
Vamos isolar os termos com
e
no lado esquerdo:
Passo 7
Agora, dividimos ambos os lados por 36 para obter a equação reduzida:
Passo 8
Comparando com a forma padrão da elipse:
Vemos que nossa equação se encaixa nessa forma, onde
,
,
e
.
Resposta
A equação reduzida da cônica é
e a cônica é uma elipse.
Exercícios relacionados
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
Descreva o domínio e imagem de cada função:
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=4-3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)
f(x)=4-3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)
Calcule
.
a)
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