Calcule encontrando um potencial para o campo F e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde F(x, y, z)=3 x^2 i+z^2y j+2 z ln y k e C é uma curva diferenciável ligando os pontos (1,1,1) e (1,2,3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha para o campo vetorial , onde é uma curva que liga os pontos e . Vamos usar o conceito de potencial para o campo vetorial e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha. Para isso, precisamos encontrar uma função potencial tal que .
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo partial Fxpartial y = partialpartial y(3x^2) = 0 partial Fypartial x = partialpartial x(z^2y) = 0 é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial partial Fxpartial z = partialpartial z(3x^2) = 0 partial Fzpartial x = partialpartial x(2z ln y) = 0 tal que partial Fypartial z = partialpartial z(z^2y) = 2zy partial Fzpartial y = partialpartial y(2z ln y) = 2zy . Isso acontece se as derivadas cruzadas das componentes de forem iguais. Vamos checar:
Como , seguimos.
Fazemos o mesmo para as outras componentes:
E
Como todas as condições são satisfeitas, o campo é conservativo e existe uma função potencial .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial F = nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . Sabemos que:
partial fpartial x = 3x^2 partial fpartial y = z^2y partial fpartial z = 2z ln y
Isso nos dá as seguintes equações:
Vamos integrar cada uma delas para encontrar .
Passo 4
Primeiro, integramos f(x, y, z) = integral 3x^2 dx = x^3 + g(y, z) em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e .
Passo 5
Agora, usamos partial fpartial y = partial gpartial y = z^2y . A partir de g(y, z) = z^2 ln y + h(z) , temos:
Integrando em relação a :
Onde é outra função de integração que depende apenas de .
Passo 6
Agora, usamos partial fpartial z = 2z ln y + dhdz = 2z ln y . A partir de , temos:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos definir .
Passo 7
Juntando tudo, a função potencial é:
f(x, y, z) = x^3 + z^2 ln y + C
Como o termo constante não afeta a integral, podemos desprezá-lo.
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos diz que:
integralC F cdot d r = f(ponto final) - f(ponto inicial)