Calcule encontrando um potencial para o campo e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha para o campo vetorial , onde é uma curva que liga os pontos e . Vamos usar o conceito de potencial para o campo vetorial e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha. Para isso, precisamos encontrar uma função potencial tal que .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que . Isso acontece se as derivadas cruzadas das componentes de forem iguais. Vamos checar:
Como , seguimos.
Fazemos o mesmo para as outras componentes:
E
Como todas as condições são satisfeitas, o campo é conservativo e existe uma função potencial .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Isso nos dá as seguintes equações:
Vamos integrar cada uma delas para encontrar .

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e .

Passo 5

Agora, usamos . A partir de , temos:
Integrando em relação a :
Onde é outra função de integração que depende apenas de .

Passo 6

Agora, usamos . A partir de , temos:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos definir .

Passo 7

Juntando tudo, a função potencial é:
Como o termo constante não afeta a integral, podemos desprezá-lo.

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos diz que:
Os pontos são e . Vamos calcular em cada ponto.

Passo 9

Calculando no ponto inicial :
E no ponto final :

Passo 10

Finalmente, a integral de linha é:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
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, onde é a circunferência .