Calcule encontrando um potencial para o campo e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha para o campo vetorial , onde é uma curva que liga os pontos e . Vamos usar o conceito de potencial para o campo vetorial e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha. Para isso, precisamos encontrar uma função potencial tal que .
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que . Isso acontece se as derivadas cruzadas das componentes de forem iguais. Vamos checar:
Como , seguimos.
Fazemos o mesmo para as outras componentes:
E
Como todas as condições são satisfeitas, o campo é conservativo e existe uma função potencial .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Isso nos dá as seguintes equações:
Vamos integrar cada uma delas para encontrar .
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e .
Passo 5
Agora, usamos . A partir de , temos:
Integrando em relação a :
Onde é outra função de integração que depende apenas de .
Passo 6
Agora, usamos . A partir de , temos:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos definir .
Passo 7
Juntando tudo, a função potencial é:
Como o termo constante não afeta a integral, podemos desprezá-lo.
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos diz que: