Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k e C é uma curva diferenciável ligando os pontos (1,1,2) e (3,5,0).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, a gente tem que entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral de linha, que basicamente calcula “trabalhos” ao longo de um caminho específico no espaço tridimensional. A pergunta quer que a gente verifique se essa integral não depende do caminho que a gente escolhe entre dois pontos, ou seja, que seja independente do caminho. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Para verificar se a integral não depende do caminho, a gente precisa ver se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma maneira fácil de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional de . Se o rotacional for zero, então é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k :
nabla times F = ( partial (x y)partial y - partial (x z)partial z )i + ( partial (y z)partial z - partial (x y)partial x )j + ( partial (x z)partial x - partial (y z)partial y )k
Substituindo nabla times F = (x - x) i + (y - y) j + (z - z) k = 0 :
Calculando as derivadas:
Passo 4
Como o rotacional de é zero, isso significa que é um campo conservativo. Portanto, a integral de linha não depende do caminho escolhido entre os pontos e .
Passo 5
Agora, para calcular o valor da integral, vamos encontrar uma função potencial partial phipartial x = y z, partial phipartial y = x z, partial phipartial z = x y tal que phi(x, y, z) = y z x + g(y, z) . Isso significa que:
partial phipartial y = z x + partial gpartial y = x z
Integrando partial phipartial z = y x + d gd z = x y em relação a phi(x, y, z) = x y z :
Agora, derivando em relação a :
Isso implica que , então não depende de . Vamos chamar .
Agora, derivando em relação a :
Isso implica que , então é constante. Podemos escolher .
Portanto, a função potencial é:
Passo 6
Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando integralC F cdot d r = phi(3,5,0) - phi(1,1,2) nos pontos finais e subtraindo: