Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, a gente tem que entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral de linha, que basicamente calcula “trabalhos” ao longo de um caminho específico no espaço tridimensional. A pergunta quer que a gente verifique se essa integral não depende do caminho que a gente escolhe entre dois pontos, ou seja, que seja independente do caminho. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Para verificar se a integral não depende do caminho, a gente precisa ver se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma maneira fácil de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional de . Se o rotacional for zero, então é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de :
Substituindo :
Calculando as derivadas:

Passo 4

Como o rotacional de é zero, isso significa que é um campo conservativo. Portanto, a integral de linha não depende do caminho escolhido entre os pontos e .

Passo 5

Agora, para calcular o valor da integral, vamos encontrar uma função potencial tal que . Isso significa que:
Integrando em relação a :
Agora, derivando em relação a :
Isso implica que , então não depende de . Vamos chamar .
Agora, derivando em relação a :
Isso implica que , então é constante. Podemos escolher .
Portanto, a função potencial é:

Passo 6

Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando nos pontos finais e subtraindo:
Calculando:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Calcule encontrando um potencial para o campo e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .