Calcule as seguintes integrais usando a definição e depois o Teorema de Green:
, onde
é a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha
onde
é a circunferência
. Para isso, vamos usar duas abordagens: primeiro, calculando a integral diretamente usando a definição, e depois aplicando o Teorema de Green. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como o Teorema de Green facilita esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral usando a definição. Para fazer isso, precisamos parametrizar a circunferência
. Uma forma comum de parametrizar um círculo de raio 1 é usando funções trigonométricas:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas nos ajudam a expressar
e
em termos de
.
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na integral original, temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Simplificando mais:
Porque
e
.
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral:
Podemos usar a identidade
:
A segunda integral:
Passo 7
Somando os resultados das integrais:
Passo 8
Agora, vamos resolver a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
Passo 9
O Teorema de Green diz que:
Onde
e
.
Passo 10
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 11
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Aqui,
é a região dentro da circunferência
.
Passo 12
A área da região
é a área de um círculo de raio 1, que é
. Então:
Resposta
O valor da integral é
.