Calcule as seguintes integrais usando a definição e depois o Teorema de Green:
, onde é a circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha onde é a circunferência . Para isso, vamos usar duas abordagens: primeiro, calculando a integral diretamente usando a definição, e depois aplicando o Teorema de Green. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como o Teorema de Green facilita esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral usando a definição. Para fazer isso, precisamos parametrizar a circunferência . Uma forma comum de parametrizar um círculo de raio 1 é usando funções trigonométricas:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a expressar e em termos de .

Passo 4

Substituindo , , e na integral original, temos:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Simplificando mais:
Porque e .

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral:
Podemos usar a identidade :
A segunda integral:

Passo 7

Somando os resultados das integrais:

Passo 8

Agora, vamos resolver a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 9

O Teorema de Green diz que:
Onde e .

Passo 10

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 11

Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Aqui, é a região dentro da circunferência .

Passo 12

A área da região é a área de um círculo de raio 1, que é . Então:

Resposta

O valor da integral é .

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, onde é a circunferência .
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