Calcule as seguintes integrais usando a definição e depois o Teorema de Green: , onde é a circunferência .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha onde é a circunferência . Para isso, vamos usar duas abordagens: primeiro, calculando a integral diretamente usando a definição, e depois aplicando o Teorema de Green. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como o Teorema de Green facilita esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral usando a definição. Para fazer isso, precisamos parametrizar a circunferência . Uma forma comum de parametrizar um círculo de raio 1 é usando funções trigonométricas:
onde varia de a .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a expressar e em termos de .
Passo 4
Substituindo , , e na integral original, temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Simplificando mais:
Porque e .
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral:
Podemos usar a identidade :
A segunda integral:
Passo 7
Somando os resultados das integrais:
Passo 8
Agora, vamos resolver a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
Passo 9
O Teorema de Green diz que:
Onde e .
Passo 10
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 11
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Aqui, é a região dentro da circunferência .
Passo 12
A área da região é a área de um círculo de raio 1, que é . Então: