Calcule as seguintes integrais usando a definição e depois o Teorema de Green:
integralgamma(3 x-y) d x+(x+5 y) d y, onde gamma é a circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha onde é a circunferência . Para isso, vamos usar duas abordagens: primeiro, calculando a integral diretamente usando a definição, e depois aplicando o Teorema de Green. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como o Teorema de Green facilita esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral usando a definição. Para fazer isso, precisamos parametrizar a circunferência x = cos(t) . Uma forma comum de parametrizar um círculo de raio 1 é usando funções trigonométricas:
y = sin(t)
onde varia de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de dxdt = -sin(t) e dydt = cos(t) em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a expressar e em termos de .

Passo 4

Substituindo integral0^2pi [3cos(t) - sin(t)] (-sin(t)),dt + [cos(t) + 5sin(t)] cos(t),dt , integral0^2pi [-3cos(t)sin(t) + sin^2(t) + cos^2(t) + 5sin(t)cos(t)],dt , e na integral original, temos:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Simplificando mais:
integral0^2pi [ ( -3cos(t)sin(t) + 5sin(t)cos(t) ) + (sin^2(t) + cos^2(t)) ],dt
= integral0^2pi [ 2cos(t)sin(t) + 1 ],dt
Porque e .

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^2pi 2cos(t)sin(t),dt + integral0^2pi 1,dt
A primeira integral:
2 integral0^2pi cos(t)sin(t),dt
Podemos usar a identidade 2 cdot 12 integral0^2pi sin(2t),dt = integral0^2pi sin(2t),dt = 0 :
integral0^2pi 1,dt = 2pi
A segunda integral:

Passo 7

Somando os resultados das integrais:
0 + 2pi = 2pi

Passo 8

Agora, vamos resolver a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 9

O Teorema de Green diz que:
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde e .

Passo 10

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (x + 5y) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y (3x - y) = -1

Passo 11

Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD (1 - (-1)),dA = integral duplaD 2,dA
Aqui, é a região dentro da circunferência .

Passo 12

A área da região integral duplaD 2,dA = 2 cdot pi = 2pi é a área de um círculo de raio 1, que é . Então:

Resposta

O valor da integral é .

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