Calcule encontrando um potencial para o campo F e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde F(x, y, z)=2 cos y i+(1y-2 x sen y) j+1z k e C é uma curva diferenciável ligando os pontos (0,2,1) e (1, pi2, 2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha integralC F cdot d r para o campo vetorial F(x, y, z)=2 cos y i+(1y-2 x sen y) j+1z k ao longo de uma curva C que liga os pontos (0,2,1) e (1, pi2, 2). Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que envolve encontrar uma função potencial para o campo F.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial F é dito conservativo se existe uma função escalar phi(x, y, z) tal que F = nabla phi. Ou seja, cada componente de F é a derivada parcial de phi em relação a x, y e z.
Passo 3
Vamos encontrar a função potencial phi(x, y, z). Sabemos que:
partial phipartial x = 2 cos y
partial phipartial y = 1y - 2x sen y
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar partial phipartial z = 1z .
Passo 4
Integrando a primeira equação em relação a x:
phi(x, y, z) = integral 2 cos y , dx = 2x cos y + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que depende de y e z.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo partial phipartial y = 1y - 2x sen y que encontramos:
Simplificando:
phi
Integrando em relação a partialpartial y (2x cos y + g(y, z)) = -2x sen y + partial gpartial y = 1y - 2x sen y :
partial gpartial y = 1y
Passo 6
Agora, usamos a terceira equação:
partial phipartial z = 1z
Substituindo phi:
partialpartial z (2x cos y + ln y + h(z)) = dhdz = 1z
Integrando:
h(z) = ln z + C
Onde C é uma constante, que podemos ignorar para a função potencial.
Passo 7
Juntando tudo, a função potencial é:
phi(x, y, z) = 2x cos y + ln y + ln z
Passo 8
Agora que temos phi, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que diz que:
integralC F cdot d r = phi(1, pi2, 2) - phi(0, 2, 1)
Vamos calcular cada termo.
Passo 9
Calculando phi(1, pi2, 2):
phi(1, pi2, 2) = 2 times 1 times cos(pi2) + ln(pi2) + ln 2
cos(pi2) = 0
phi(1, pi2, 2) = 0 + ln(pi2) + ln 2 = ln(pi2 times 2) = ln pi
Passo 10
Calculando phi(0, 2, 1):
phi(0, 2, 1) = 2 times 0 times cos(2) + ln(2) + ln(1)