Calcule encontrando um potencial para o campo e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha para o campo vetorial ao longo de uma curva que liga os pontos e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que envolve encontrar uma função potencial para o campo .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial é dito conservativo se existe uma função escalar tal que . Ou seja, cada componente de é a derivada parcial de em relação a , e .
Passo 3
Vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .
Passo 4
Integrando a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende de e .
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo que encontramos:
Simplificando:
Integrando em relação a :
Passo 6
Agora, usamos a terceira equação:
Substituindo :
Integrando:
Onde é uma constante, que podemos ignorar para a função potencial.
Passo 7
Juntando tudo, a função potencial é:
Passo 8
Agora que temos , podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que diz que: