Calcule encontrando um potencial para o campo e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha para o campo vetorial ao longo de uma curva que liga os pontos e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que envolve encontrar uma função potencial para o campo .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial é dito conservativo se existe uma função escalar tal que . Ou seja, cada componente de é a derivada parcial de em relação a , e .

Passo 3

Vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 4

Integrando a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende de e .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo que encontramos:
Simplificando:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, usamos a terceira equação:
Substituindo :
Integrando:
Onde é uma constante, que podemos ignorar para a função potencial.

Passo 7

Juntando tudo, a função potencial é:

Passo 8

Agora que temos , podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que diz que:
Vamos calcular cada termo.

Passo 9

Calculando :

Passo 10

Calculando :
á

Resposta

A integral de linha é:

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Calcule encontrando um potencial para o campo e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Calcule as seguintes integrais usando a definição e depois o Teorema de Green:
, onde é a circunferência .
Calcule as seguintes integrais:
, onde é a circunferência .