Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a integral de linha não depende do caminho escolhido. A força está envolvida, e a curva liga os pontos e . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de campo conservativo e o teorema de linha.

Passo 2

Primeiro, pra ver se a integral não depende do caminho, a gente precisa checar se o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que . Um jeito de confirmar isso é verificar se o rotacional de é zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:

Passo 4

Calculando cada componente:

Passo 5

Substituindo na expressão do rotacional:

Passo 6

Como o rotacional de é zero, isso quer dizer que é um campo conservativo. Portanto, a integral não depende do caminho escolhido e só depende dos pontos inicial e final.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Integrando os componentes de :
Para :
Para :
Então,
Para :
Então, a função potencial é:

Passo 8

Agora, para calcular a integral, basta avaliar a função potencial nos pontos final e inicial:
Calculando:

Resposta

O valor da integral é .

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Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
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e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Calcule encontrando um potencial para o campo e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
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e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .