Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde F(x, y, z)=2 x y i+(x^2-z^2) j-2 y z k e C é uma curva diferenciável ligando os pontos (0,0,0) e (1,2,3).
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a integral de linha não depende do caminho escolhido. A força está envolvida, e a curva liga os pontos e . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de campo conservativo e o teorema de linha.
Passo 2
Primeiro, pra ver se a integral não depende do caminho, a gente precisa checar se o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que . Um jeito de confirmar isso é verificar se o rotacional de é zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k , que é dado por:
Passo 4
Calculando cada componente:
partial Fzpartial y = partial (-2yz)partial y = -2z
partial Fypartial z = partial (x^2 - z^2)partial z = -2z
partial Fxpartial z = partial (2xy)partial z = 0
partial Fzpartial x = partial (-2yz)partial x = 0
partial Fypartial x = partial (x^2 - z^2)partial x = 2x
partial Fxpartial y = partial (2xy)partial y = 2x
Passo 5
Substituindo na expressão do rotacional:
nabla times F = (-2z - (-2z)) i + (0 - 0) j + (2x - 2x) k = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Passo 6
Como o rotacional de é zero, isso quer dizer que é um campo conservativo. Portanto, a integral não depende do caminho escolhido e só depende dos pontos inicial e final.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função potencial f = integral 2xy , dx = x^2y + g(y,z) tal que partial fpartial y = x^2 + partial gpartial y = x^2 - z^2 Rightarrow partial gpartial y = -z^2 . Integrando os componentes de partial fpartial z = -2yz + dhdz = -2yz Rightarrow dhdz = 0 Rightarrow h(z) = constante :
Para f(x,y,z) = x^2y - y z^2 + C :
Para :
Então,
Para :
Então, a função potencial é:
Passo 8
Agora, para calcular a integral, basta avaliar a função potencial nos pontos final e inicial: