Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a integral de linha não depende do caminho escolhido. A força está envolvida, e a curva liga os pontos e . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de campo conservativo e o teorema de linha.
Passo 2
Primeiro, pra ver se a integral não depende do caminho, a gente precisa checar se o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que . Um jeito de confirmar isso é verificar se o rotacional de é zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Passo 4
Calculando cada componente:
Passo 5
Substituindo na expressão do rotacional:
Passo 6
Como o rotacional de é zero, isso quer dizer que é um campo conservativo. Portanto, a integral não depende do caminho escolhido e só depende dos pontos inicial e final.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Integrando os componentes de :
Para :
Para :
Então,
Para :
Então, a função potencial é:
Passo 8
Agora, para calcular a integral, basta avaliar a função potencial nos pontos final e inicial: