Calcule as seguintes integrais:
ointgamma(2 x+raiz[3]1+x^5) d x+(5 x-e^y^2) d y, onde gamma é a circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me passou! O enunciado pede para calcular a integral:
ointgamma(2 x+raiz[3]1+x^5) dx + (5 x - e^y^2) dy
onde é a circunferência definida por . Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha ao redor de uma curva fechada. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral de linha. Podemos escrever a expressão dentro da integral na forma vetorial:
F(x, y) = (2x + raiz[3]1 + x^5, 5x - e^y^2)
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA positivamente orientada (sentido anti-horário) que delimita uma região ,
Isso simplifica a integral de linha em uma integral dupla sobre a região dentro da circunferência.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (5x - e^y^2) = 5
partial Ppartial y = partialpartial y (2x + raiz[3]1 + x^5) = 0
Porque não depende de , a derivada parcial em relação a é zero.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD (5 - 0) , dA = 5 integral duplaD dA
Então, a integral dupla é igual a 5 vezes a área de .

Passo 6

Agora, precisamos calcular a área da região Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi , que é a área da circunferência . O raio dessa circunferência é 2, então a área é:
Á

Passo 7

Finalmente, substituindo a área na expressão anterior:
5 integral duplaD dA = 5 times 4pi = 20pi

Resposta

A integral vale .

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