Calcule as seguintes integrais: , onde é a circunferência .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me passou! O enunciado pede para calcular a integral:
onde é a circunferência definida por . Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha ao redor de uma curva fechada. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral de linha. Podemos escrever a expressão dentro da integral na forma vetorial:
Aqui, e .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada positivamente orientada (sentido anti-horário) que delimita uma região ,
Isso simplifica a integral de linha em uma integral dupla sobre a região dentro da circunferência.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Porque não depende de , a derivada parcial em relação a é zero.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla é igual a 5 vezes a área de .
Passo 6
Agora, precisamos calcular a área da região , que é a área da circunferência . O raio dessa circunferência é 2, então a área é:
Passo 7
Finalmente, substituindo a área na expressão anterior: