Calcule as seguintes integrais:
, onde é a circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me passou! O enunciado pede para calcular a integral:
onde é a circunferência definida por . Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha ao redor de uma curva fechada. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral de linha. Podemos escrever a expressão dentro da integral na forma vetorial:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada positivamente orientada (sentido anti-horário) que delimita uma região ,
Isso simplifica a integral de linha em uma integral dupla sobre a região dentro da circunferência.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Porque não depende de , a derivada parcial em relação a é zero.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla é igual a 5 vezes a área de .

Passo 6

Agora, precisamos calcular a área da região , que é a área da circunferência . O raio dessa circunferência é 2, então a área é:
Á

Passo 7

Finalmente, substituindo a área na expressão anterior:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais usando a definição e depois o Teorema de Green:
, onde é a circunferência .
Calcule encontrando um potencial para o campo e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Calcule as seguintes integrais:
, onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.
Seja um campo vetorial diferenciável definido no subconjunto aberto , tal que . Suponha que , onde e , onde . Calcule , onde .