Calcule
ao longo da curva
, onde
é a circunferência
a partir do ponto
no sentido contrario antihorário.
Sol.
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
onde o campo vetorial é
e
é uma circunferência de raio 2 (
) que começa no ponto (2,0) seguindo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar do Teorema de Green. Ele nos diz que:
onde
e
é a região dentro da curva
.
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença é:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Isso significa que precisamos calcular duas vezes a área da região
.
Passo 5
A curva
é uma circunferência de raio 2, então a área
dela é:
Passo 6
Portanto, a integral dupla fica: