Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=(x-y) i+(y+x) j, onde C é a circunferência x^2+y^2=4 a partir do ponto (2,0) no sentido contrario antihorário.
Sol. 8 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha onde o campo vetorial é e é uma circunferência de raio 2 ( ) que começa no ponto (2,0) seguindo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar do Teorema de Green. Ele nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde e é a região dentro da curva .
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (y + x) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y (x - y) = -1
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD 2 , dA
Isso significa que precisamos calcular duas vezes a área da região .

Passo 5

A curva A = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi é uma circunferência de raio 2, então a área dela é:

Passo 6

Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dA = 2 times A = 2 times 4pi = 8pi

Resposta

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