Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, galera, temos uma afirmação que diz que a integral dupla de
com
variando de -1 a 1 e
de 0 a 1 é igual a zero. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integrais duplas e propriedades de funções ímpares e pares. Vamos precisar entender como as simetrias das funções afetam o valor da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral:
. Perceba que
é uma função que depende de
e
, o que a torna uma função par em relação ao
(porque
) e também par em relação ao
. Já
é uma função ímpar, já que
.
Passo 3
Vamos focar na simetria em relação ao
. A função inteira
é uma função par em
porque
é par e
não depende de
. Isso significa que:
Quando integramos uma função par sobre um intervalo simétrico, como de -1 a 1, a integral não necessariamente se anula, a menos que haja outra propriedade que faça isso acontecer.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a integração em relação ao
. A função
é ímpar em
, mas estamos integrando de 0 a 1, que não é um intervalo simétrico. Portanto, a simetria ímpar em
não nos ajuda a simplificar a integral a zero.
Passo 5
Além disso,
é sempre positiva para qualquer
e
, e
é positiva no intervalo de 0 a 1 (já que
para
em (0, π)). Portanto, o produto
é sempre positivo nesse domínio de integração.
Passo 6
Como estamos integrando uma função que é sempre positiva sobre um intervalo onde ambas as variáveis variam de forma contínua, o resultado da integral não pode ser zero. Isso porque estamos somando apenas valores positivos.
Resposta
A afirmação é falsa, pois a integral dupla
é maior que zero.