Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. integral-1^1 integral0^1 e^x^2+y^2 sen y d y d x=0

Passo 1

Então, galera, temos uma afirmação que diz que a integral dupla de com variando de -1 a 1 e de 0 a 1 é igual a zero. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integrais duplas e propriedades de funções ímpares e pares. Vamos precisar entender como as simetrias das funções afetam o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . Perceba que é uma função que depende de e , o que a torna uma função par em relação ao (porque ) e também par em relação ao . Já é uma função ímpar, já que .

Passo 3

Vamos focar na simetria em relação ao f(-x, y) = f(x, y) . A função inteira é uma função par em porque é par e não depende de . Isso significa que:
Quando integramos uma função par sobre um intervalo simétrico, como de -1 a 1, a integral não necessariamente se anula, a menos que haja outra propriedade que faça isso acontecer.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a integração em relação ao . A função é ímpar em , mas estamos integrando de 0 a 1, que não é um intervalo simétrico. Portanto, a simetria ímpar em não nos ajuda a simplificar a integral a zero.

Passo 5

Além disso, é sempre positiva para qualquer e , e é positiva no intervalo de 0 a 1 (já que para em (0, π)). Portanto, o produto é sempre positivo nesse domínio de integração.

Passo 6

Como estamos integrando uma função que é sempre positiva sobre um intervalo onde ambas as variáveis variam de forma contínua, o resultado da integral não pode ser zero. Isso porque estamos somando apenas valores positivos.

Resposta

A afirmação é falsa, pois a integral dupla é maior que zero.

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