Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule ao longo da parte da parábola que resulta da interseção de e . Dica: utiliza como parâmetro
Sol.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular uma integral sobre uma curva específica. A integral é . A curva é a parte da parábola resultante da interseção de e . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas. Vamos precisar parametrizar a curva usando .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Sabemos que . A equação nos permite expressar . Substituindo na equação da parábola , temos:
Expandindo:
Simplificando, cancelando :
Então, .
Passo 3
Agora temos a parametrização da curva em termos de :
Para calcular , que é o diferencial de arco, usamos:
Vamos calcular as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora substituímos na integral original:
Simplificamos a expressão dentro da integral.
Passo 5
A integral que ficou é:
Para resolver isso, usamos uma substituição padrão. Sabemos que:
Aqui, , então:
Passo 6
Agora precisamos determinar os limites de integração para . Como a curva é a interseção de e , vamos encontrar os valores de que correspondem a essa interseção. Resolviendo as equações, encontramos que varia de a .