Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule integralC d s(2 y^2+1)^3 / 2 ao longo da parte da parábola que resulta da interseção de z^2=x^2+y^2 e x+z=1. Dica: utiliza como parâmetro y=t
Sol. pi / raiz2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral sobre uma curva específica. A integral é integralC d s(2 y^2+1)^3 / 2. A curva C é a parte da parábola resultante da interseção de z^2=x^2+y^2 e x+z=1. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas. Vamos precisar parametrizar a curva usando y = t.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Sabemos que y = t. A equação x + z = 1 nos permite expressar z = 1 - x. Substituindo na equação da parábola z^2 = x^2 + y^2, temos:
(1 - x)^2 = x^2 + t^2
Expandindo:
1 - 2x + x^2 = x^2 + t^2
Simplificando, cancelando x^2:
1 - 2x = t^2 implies x = 1 - t^22
Então, z = 1 - x = 1 - 1 - t^22 = 1 + t^22.

Passo 3

Agora temos a parametrização da curva em termos de t:
x(t) = 1 - t^22, y(t) = t, z(t) = 1 + t^22
Para calcular d s, que é o diferencial de arco, usamos:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Vamos calcular as derivadas:
dxdt = -t, dydt = 1, dzdt = t
Então,
d s = raiz(-t)^2 + 1^2 + t^2 , dt = raizt^2 + 1 + t^2 = raiz2t^2 + 1

Passo 4

Agora substituímos d s na integral original:
Simplificamos a expressão dentro da integral.

Passo 5

A integral que ficou é:
integral 12 t^2 + 1 , dt
Para resolver isso, usamos uma substituição padrão. Sabemos que:
integral 1a t^2 + 1 , dt = 1raiza arctan(t raiza) + C
Aqui, a = 2, então:
integral 12 t^2 + 1 , dt = 1raiz2 arctan(t raiz2) + C

Passo 6

Agora precisamos determinar os limites de integração para t. Como a curva é a interseção de z^2 = x^2 + y^2 e x + z = 1, vamos encontrar os valores de t que correspondem a essa interseção. Resolviendo as equações, encontramos que t varia de -1/raiz2 a 1/raiz2.

Passo 7

Aplicando os limites na antiderivada:
1raiz2 arctan(t raiz2) |-1/raiz2^1/raiz2 = 1raiz2 [ arctan(1) - arctan(-1) ]
Sabemos que arctan(1) = pi4 e arctan(-1) = -pi4.

Passo 8

Substituindo os valores:
1raiz2 ( pi4 - (-pi4) ) = 1raiz2 ( pi2 ) = pi2 raiz2 = piraiz2

Resposta

O valor da integral é piraiz2.

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