Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. A integral integral0^2 pi integral0^2 integralr^2 d z d r d theta representa o volume delimitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=2.

Passo 1

Beleza, vamos ver isso juntos! O enunciado pede para decidir se a integral tripla integral0^2 pi integral0^2 integralr^2 dz, dr, dtheta representa o volume delimitado pelo cone z = raizx^2+y^2 e pelo plano z = 2. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a visualização e resolver o problema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da integral representa. Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • r: distância do ponto ao eixo z
  • theta: ângulo em torno do eixo z
  • z: altura
A integral está configurada assim:
  • theta vai de 0 a 2pi, cobrindo toda a volta ao redor do eixo z.
  • r vai de 0 a 2, definindo o raio máximo.
  • z vai de r até 2, indo do cone até o plano superior.

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com as equações dadas:
  • O cone z = raizx^2+y^2 em coordenadas cilíndricas fica z = r.
  • O plano é simplesmente z = 2.
Então, a integral está calculando o volume onde z varia de r (a superfície do cone) até 2 (o plano superior), para r de 0 a 2 e theta ao redor de 2pi. Isso corresponde exatamente à região delimitada pelo cone e pelo plano.

Passo 4

Para confirmar, podemos pensar no volume como empilhando camadas desde o cone até o plano. A integral tripla está somando todas essas camadas em coordenadas cilíndricas, cobrindo todo o ângulo theta e até o raio r = 2.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A integral tripla dada realmente representa o volume delimitado pelo cone z = raizx^2+y^2 e pelo plano z = 2.

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