Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. A integral
representa o volume delimitado pelo cone
pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos ver isso juntos! O enunciado pede para decidir se a integral tripla
representa o volume delimitado pelo cone
e pelo plano
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a visualização e resolver o problema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da integral representa. Em coordenadas cilíndricas, temos:
-
: distância do ponto ao eixo -
: ângulo em torno do eixo -
: altura
A integral está configurada assim:
-
vai de a , cobrindo toda a volta ao redor do eixo . -
vai de a , definindo o raio máximo. -
vai de até , indo do cone até o plano superior.
Passo 3
Agora, vamos comparar isso com as equações dadas:
- O cone
em coordenadas cilíndricas fica . - O plano é simplesmente
.
Então, a integral está calculando o volume onde
varia de
(a superfície do cone) até
(o plano superior), para
de
a
e
ao redor de
. Isso corresponde exatamente à região delimitada pelo cone e pelo plano.
Passo 4
Para confirmar, podemos pensar no volume como empilhando camadas desde o cone até o plano. A integral tripla está somando todas essas camadas em coordenadas cilíndricas, cobrindo todo o ângulo
e até o raio
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A integral tripla dada realmente representa o volume delimitado pelo cone
e pelo plano
.