A diferença simétrica entre conjuntos A e B é definida por
A Δ B = (A - B) ∪ (B - A)
Prove que A Delta B = A Delta C se, e somente se, B = C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois conjuntos e , e definimos a diferença simétrica entre eles como
O exercício nos pede para provar que se, e somente se, . Vamos precisar usar conceitos de conjuntos como diferença, união e igualdade de conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar provando a direção "se , então ".
Sabemos que se , então qualquer operação envolvendo será igual à mesma operação envolvendo . Portanto:
e
Como , temos e , então:

Passo 3

Agora, precisamos provar a outra direção: "se , então ".
Vamos assumir que . Queremos mostrar que isso implica que .
Vamos analisar a definição da diferença simétrica:
Como , temos:
Para que essas uniões sejam iguais, cada parte deve ser igual. Ou seja:
Se , isso implica que os elementos de que não estão em são os mesmos que os que não estão em . Similarmente, implica que os elementos fora de também são os mesmos para e .
Isso só é possível se e tiverem exatamente os mesmos elementos, ou seja, .

Resposta

Portanto, provamos que se, e somente se, .

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