A diferença simétrica entre conjuntos
e
é definida por
Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois conjuntos
e
, e definimos a diferença simétrica entre eles como
O exercício nos pede para provar que
se, e somente se,
. Vamos precisar usar conceitos de conjuntos como diferença, união e igualdade de conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar provando a direção "se
, então
".
Sabemos que se
, então qualquer operação envolvendo
será igual à mesma operação envolvendo
. Portanto:
e
Como
, temos
e
, então:
Passo 3
Agora, precisamos provar a outra direção: "se
, então
".
Vamos assumir que
. Queremos mostrar que isso implica que
.
Vamos analisar a definição da diferença simétrica:
Como
, temos:
Para que essas uniões sejam iguais, cada parte deve ser igual. Ou seja:
Se
, isso implica que os elementos de
que não estão em
são os mesmos que os que não estão em
. Similarmente,
implica que os elementos fora de
também são os mesmos para
e
.
Isso só é possível se
e
tiverem exatamente os mesmos elementos, ou seja,
.
Resposta
Portanto, provamos que
se, e somente se,
.