Calcule
ao longo da curva
, onde
é a parábola
a partir da origem até o ponto
.
Sol.
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
. Aqui, o campo vetorial é dado por
, e a curva
é a parábola
, indo da origem até o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular a integral de linha usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Sabemos que
, então podemos expressar
em função de
:
. Vamos usar
como nosso parâmetro. Assim, a parametrização fica:
Onde
varia de
a
, já que movemos da origem
até
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para obter
:
Portanto,
.
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização na função
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
A integral de linha então se torna:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando cada termo:
Passo 8
Agora, avaliamos essas integrais de 0 a 2:
Passo 9
Somando todos os resultados:
Para somar frações, encontramos um denominador comum:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.