Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=y x^2 i+(y+x) j, onde C é a parábola x^2=2 y a partir da origem até o ponto (2,2).
Sol. 62 / 15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r ao longo da curva C. Aqui, o campo vetorial é dado por F(x, y, z) = yx^2 i + (y + x) j, e a curva C é a parábola x^2 = 2y, indo da origem até o ponto (2, 2). Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular a integral de linha usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Sabemos que x^2 = 2y, então podemos expressar y em função de x: y = x^22. Vamos usar x como nosso parâmetro. Assim, a parametrização fica:
r(x) = x i + x^22 j
Onde x varia de 0 a 2, já que movemos da origem (0,0) até (2,2).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(x) em relação a x para obter dr:
drdx = ddx(x i + x^22 j) = i + x j
Portanto, dr = (i + x j) dx.

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função F:
F(x, y) = yx^2 i + (y + x) j = (x^22 cdot x^2) i + (x^22 + x) j = x^42 i + (x^22 + x) j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (x^42)(1) + (x^22 + x)(x) = x^42 + x^32 + x^2

Passo 6

A integral de linha então se torna:
integral0^2 (x^42 + x^32 + x^2) dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando cada termo:
integral x^42 dx = 12 cdot x^55 = x^510
integral x^32 dx = 12 cdot x^44 = x^48
integral x^2 dx = x^33

Passo 8

Agora, avaliamos essas integrais de 0 a 2:
[x^510]0^2 = 3210 - 0 = 165
[x^48]0^2 = 168 - 0 = 2
[x^33]0^2 = 83 - 0 = 83

Passo 9

Somando todos os resultados:
165 + 2 + 83 = 165 + 105 + 4015 = 265 + 83
Para somar frações, encontramos um denominador comum:
26 cdot 315 + 8 cdot 515 = 7815 + 4015 = 11815
Simplificando:
11815 = 6215 (após simplificar) ó

Resposta

O valor da integral é 6215.

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