(1,0) Usando coordenadas cilíndricas, calcule I=integral triplaT(x^2+y^2) d V onde T é a região delimitada inferiormente pelo plano x y, superiormente pelo paraboloide z=x^2+y^2 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para calcular a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A região está limitada por baixo pelo plano (ou seja, ), por cima pelo paraboloide e lateralmente pelo cilindro . Para resolver isso, vamos precisar saber como converter para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as coordenadas cilíndricas. Em vez de usar , e , usamos , e , onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

A função que estamos integrando, , em coordenadas cilíndricas fica mais simples: . Então, nossa integral fica .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
  • : Como o cilindro é simétrico em torno do eixo , varia de a .
  • : O cilindro tem raio 3, já que . Então, varia de a .
  • : Na base, (plano ) e por cima temos o paraboloide . Então, varia de a .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
I = integral0^2pi integral0^3 integral0^r^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, é a função que estamos integrando e multiplicamos por do elemento de volume.

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^r^2 dz = z gr|0^r^2 = r^2 :
I = integral0^2pi integral0^3 r^2 cdot r cdot r^2 , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 r^5 , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^3 r^5 , dr = r^66 gr|0^3 = 3^66 - 0 = 7296 = 121,5 :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a I = integral0^2pi 121,5 , dtheta = 121,5 cdot 2pi = 243pi :

Resposta

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