Usando coordenadas cilíndricas, calcule onde é a região delimitada inferiormente pelo plano , superiormente pelo paraboloide e lateralmente pelo cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão pede para calcular a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A região está limitada por baixo pelo plano (ou seja, ), por cima pelo paraboloide e lateralmente pelo cilindro . Para resolver isso, vamos precisar saber como converter para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as coordenadas cilíndricas. Em vez de usar , e , usamos , e , onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .
Passo 3
A função que estamos integrando, , em coordenadas cilíndricas fica mais simples: . Então, nossa integral fica .
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
: Como o cilindro é simétrico em torno do eixo , varia de a .
: O cilindro tem raio 3, já que dá . Então, varia de a .
: Na base, (plano ) e por cima temos o paraboloide . Então, varia de a .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, é a função que estamos integrando e multiplicamos por do elemento de volume.
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a integral0^3 r^5 , dr = r^66 gr|0^3 = 3^66 - 0 = 7296 = 121,5 :
Passo 8
Por fim, integramos em relação a I = integral0^2pi 121,5 , dtheta = 121,5 cdot 2pi = 243pi :