Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano
e pelo cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está limitado pelo plano
(brincando no chão) e por um cone dado pela equação
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo em coordenadas polares, que facilita bastante quando lidamos com simetria circular, como é o caso desse cone. Vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
e configurar uma integral tripla para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o sólido que estamos analisando. O cone é dado por
. Em coordenadas polares, sabemos que
é simplesmente
. Então, a equação do cone fica
. O plano
é onde
. Então, o sólido está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração. Em coordenadas polares,
varia de
a
para cobrir todo o círculo. Para
, vamos determinar até onde ele vai. Quando
, temos
, ou seja,
. Então,
varia de
a
. Finalmente, para
, ele vai de
até
. Então, nossos limites de integração são:
Passo 4
Vamos escrever a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de volume é
. Então, a integral fica:
Vamos integrar passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Agora, vamos expandir e integrar em relação a
:
Integrando:
Então, a integral fica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.