1,0 Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano x y e pelo cone z = 2 - raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está limitado pelo plano xy (brincando no chão) e por um cone dado pela equação . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo em coordenadas polares, que facilita bastante quando lidamos com simetria circular, como é o caso desse cone. Vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, θ) e configurar uma integral tripla para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o sólido que estamos analisando. O cone é dado por . Em coordenadas polares, sabemos que é simplesmente r. Então, a equação do cone fica . O plano xy é onde . Então, o sólido está entre e .

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração. Em coordenadas polares, theta varia de 0 a para cobrir todo o círculo. Para r, vamos determinar até onde ele vai. Quando , temos , ou seja, . Então, r varia de 0 a . Finalmente, para z, ele vai de 0 até . Então, nossos limites de integração são:

Passo 4

Vamos escrever a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de volume é . Então, a integral fica:
Vamos integrar passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral fica:
Agora, vamos expandir e integrar em relação a r:
Integrando:
Então, a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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