Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=2 x y i+(x-2 y) j
C: r(t) =sin t i-2 cos t j 0 <= t <= pi
Sol. pi-8 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função vetorial F ao longo da curva C. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e entender como calcular a integral de uma função vetorial ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela está parametrizada por:
r(t) = sin t , i - 2 cos t , j, 0 <= t <= pi
Isso significa que para cada valor de t no intervalo de 0 a pi, temos um ponto na curva C.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r'(t). Isso nos dará o vetor tangente à curva em cada ponto.
r'(t) = ddt [sin t , i - 2 cos t , j] = cos t , i + 2 sin t , j

Passo 4

Vamos avaliar a função vetorial F na curva C. Substituímos x = sin t e y = -2 cos t na expressão de F:
F(x, y, z) = 2xy , i + (x - 2y) , j
Então:
F(r(t)) = 2(sin t)(-2 cos t) , i + (sin t - 2(-2 cos t)) , j = -4 sin t cos t , i + (sin t + 4 cos t) , j

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (-4 sin t cos t)(cos t) + (sin t + 4 cos t)(2 sin t) = -4 sin t cos^2 t + 2 sin^2 t + 8 sin t cos t

Passo 6

Simplificamos a expressão obtida:
-4 sin t cos^2 t + 2 sin^2 t + 8 sin t cos t = 2 sin^2 t + 8 sin t cos t - 4 sin t cos^2 t
Podemos fatorar um 2 sin t:
2 sin t (sin t + 4 cos t - 2 cos^2 t)

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = pi:
integral0^pi F(r(t)) cdot r'(t) , dt = integral0^pi [2 sin^2 t + 8 sin t cos t - 4 sin t cos^2 t] , dt
Resolvendo essa integral, encontramos:
pi - 83

Resposta

O valor da integral é pi - dfrac83.

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