Calcule
ao longo da curva
Sol.
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo da curva
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e entender como calcular a integral de uma função vetorial ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela está parametrizada por:
Isso significa que para cada valor de
no intervalo de
a
, temos um ponto na curva
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dará o vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 4
Vamos avaliar a função vetorial
na curva
. Substituímos
e
na expressão de
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Simplificamos a expressão obtida:
Podemos fatorar um
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Resolvendo essa integral, encontramos:
Resposta
O valor da integral é
.