Calcule integralc F cdot d r ao longo do segmento de reta c desde P até Q. (Ex. 7 a 10)
1.2. F(x, y)=2 cdot i+5 cdot j ;
P(1,-3), Q(4,-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo do segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Aqui, o vetor campo é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho r(t) = P + t(Q - P) de a . Como é uma reta reta, podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para descrever todos os pontos entre e .
A parametrização fica assim:
Onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Vamos calcular Q - P = (4 - 1, -3 - (-3)) = (3, 0) :
r(t) = (1, -3) + t(3, 0) = (1 + 3t, -3)
Então, a parametrização fica:
x(t) = 1 + 3t e y(t) = -3
Portanto, as componentes de são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de r'(t) = ( dxdt, dydt ) = (3, 0) em relação a , que é :
Isso representa o vetor tangente ao caminho .

Passo 5

Vamos expressar o vetor campo F(r(t)) = 2,i + 5,j ao longo do caminho parametrizado. Substituindo e na expressão de :
Como é constante, não depende de .

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot r'(t) = (2)(3) + (5)(0) = 6 + 0 = 6 :
integral0^1 6,dt = 6t g|0^1 = 6(1) - 6(0) = 6
Então, a integral de linha fica:

Resposta

O valor da integral é .

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