Seja C a curva representada pelas equações (Ex11)
x=2 cdot t, y=t^2(0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de c.
2.2. integralc(x-raizy) cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva representada por e , onde varia de 0 a 1. Nosso objetivo é calcular a integral de linha ao longo dessa curva para a função .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha parametrizadas. Precisamos substituir e pelas expressões em termos de e também expressar em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar x = 2t e y = t^2 em termos de dx = ddt(2t) , dt = 2 , dt :
Agora, precisamos encontrar :

Passo 3

Substituímos integralc (x - raizy) , dx = integral0^1 (2t - raizt^2) cdot 2 , dt , e na integral original:
Aqui, o intervalo de integração vai de a , seguindo os limites dados no enunciado.

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da integral. Note que integral0^1 (2t - t) cdot 2 , dt = integral0^1 (t) cdot 2 , dt = 2 integral0^1 t , dt . Como varia de 0 a 1, é sempre não negativo, então :

Passo 5

Calculamos a integral:
2 integral0^1 t , dt = 2 [ t^22 ]0^1 = 2 ( 1^22 - 0^22 ) = 2 ( 12 - 0 ) = 2 cdot 12 = 1

Resposta

A integral de linha é igual a .

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