Calcule
ao longo do segmento de reta
desde
até
. (Ex. 7 a 10)
1.4.F
1.4.F
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo do segmento de reta
que vai do ponto
até o ponto
. Vamos usar conhecimentos sobre integrais de linha e parametrização de trajetórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o caminho que a gente vai seguir. Como
é um segmento de reta de
a
, e ambos os pontos têm a coordenada
, isso significa que nosso caminho está todo na linha
, ou seja, no eixo
.
Passo 3
Vamos parametrizar esse segmento de reta. A parametrização serve para descrever o movimento ao longo do caminho. Podemos definir um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde:
Substituindo
e
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos achar a derivada da parametrização em relação a
, que é
. Isso nos dá a direção do caminho:
Ou seja,
.
Passo 5
Vamos substituir a parametrização na função vetorial
. Como
, a função fica:
Passo 6
A integral de linha
pode ser escrita em termos de
:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Resposta
A integral de linha
ao longo do segmento de reta
de
até
é igual a
.