Calcule integralc F cdot d r ao longo do segmento de reta c desde P até Q. (Ex. 7 a 10)
1.4.F (x, y)=-8 cdot x cdot i+3 cdot y cdot j ;
P(-1,0), Q(6,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função vetorial F(x, y) = -8x,i + 3y,j ao longo do segmento de reta c que vai do ponto P(-1, 0) até o ponto Q(6, 0). Vamos usar conhecimentos sobre integrais de linha e parametrização de trajetórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o caminho que a gente vai seguir. Como c é um segmento de reta de P a Q, e ambos os pontos têm a coordenada y = 0, isso significa que nosso caminho está todo na linha y = 0, ou seja, no eixo x.

Passo 3

Vamos parametrizar esse segmento de reta. A parametrização serve para descrever o movimento ao longo do caminho. Podemos definir um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde:
r(t) = (1 - t)P + tQ
Substituindo P(-1, 0) e Q(6, 0):
r(t) = (1 - t)(-1, 0) + t(6, 0) = (-1 + 7t, 0)
Então, temos:
x(t) = -1 + 7t e y(t) = 0

Passo 4

Agora, vamos achar a derivada da parametrização em relação a t, que é r'(t). Isso nos dá a direção do caminho:
r'(t) = ddt(-1 + 7t, 0) = (7, 0)
Ou seja, r'(t) = 7,i.

Passo 5

Vamos substituir a parametrização na função vetorial F. Como y(t) = 0, a função fica:
F(r(t)) = -8x(t),i + 3y(t),j = -8(-1 + 7t),i + 0,j = (8 - 56t),i

Passo 6

A integral de linha integralc F cdot d r pode ser escrita em termos de t:
integral0^1 F(r(t)) cdot r'(t),dt
Substituindo as expressões que encontramos:
integral0^1 (8 - 56t),i cdot 7,i,dt = integral0^1 7(8 - 56t),dt = 7 integral0^1 (8 - 56t),dt

Passo 7

Vamos resolver a integral:
7 integral0^1 (8 - 56t),dt = 7 [8t - 28t^2]0^1 = 7 [(8 cdot 1 - 28 cdot 1^2) - (0 - 0)] = 7 (8 - 28) = 7 (-20) = -140

Resposta

A integral de linha integralc F cdot d r ao longo do segmento de reta c de P até Q é igual a -140.

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