Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .
3.1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de linha ao longo da curva definida pelas equações paramétricas:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada dos vetores posição, e usar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de uma função ao longo de uma curva parametrizada por é dada por:
Onde é o módulo do vetor derivada da parametrização da curva.
Passo 3
Vamos identificar a função que precisamos integrar. Na questão, temos:
Então, substituindo as parametrizações:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada do vetor posição :
Derivando cada componente em relação a :
O módulo desse vetor é:
Passo 5
Simplificando o módulo:
(Note que , e como , é positivo.)
Passo 6
Agora podemos montar a integral de linha:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
108 cdot 1^1010 - 108 cdot 0^1010 = 10810 = 10,8
648 cdot 1^1212 - 648 cdot 0^1212 = 64812 = 54
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
10,8 + 54 = 64,8
Resposta
A integral de linha ao longo da curva é igual a 64,8.