Seja C a curva representada pelas equações (Ex12)
x=t, y=3 cdot t^2, z=6 cdot t^3(0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de c.
3.1. integralc x cdot y cdot z^2 cdot d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de linha ao longo da curva x = t, y = 3t^2, z = 6t^3, 0 <= t <= 1 definida pelas equações paramétricas:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada dos vetores posição, e usar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de uma função integralC f(x, y, z) , ds = integrala^b f(x(t), y(t), z(t)) cdot |C'(t)| , dt ao longo de uma curva parametrizada por é dada por:
Onde é o módulo do vetor derivada da parametrização da curva.

Passo 3

Vamos identificar a função f(x, y, z) = x cdot y cdot z^2 que precisamos integrar. Na questão, temos:
f(t) = t cdot 3t^2 cdot (6t^3)^2 = t cdot 3t^2 cdot 36t^6 = 108t^9
Então, substituindo as parametrizações:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada do vetor posição C(t) = lang<= t, 3t^2, 6t^3 rang<= :
C'(t) = lang<= dxdt, dydt, dzdt rang<= = lang<= 1, 6t, 18t^2 rang<=
Derivando cada componente em relação a |C'(t)| = raiz1^2 + (6t)^2 + (18t^2)^2 = raiz1 + 36t^2 + 324t^4 = raiz1 + 36t^2 + 324t^4 :
O módulo desse vetor é:

Passo 5

Simplificando o módulo:
|C'(t)| = raiz1 + 36t^2 + 324t^4 = raiz(1 + 6t^2)^2 = 1 + 6t^2
(Note que , e como , é positivo.)

Passo 6

Agora podemos montar a integral de linha:
integralC x cdot y cdot z^2 , ds = integral0^1 108t^9 cdot (1 + 6t^2) , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
108t^9 cdot (1 + 6t^2) = 108t^9 + 648t^11

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral0^1 108t^9 , dt + integral0^1 648t^11 , dt = 108 cdot t^1010 g|0^1 + 648 cdot t^1212 g|0^1
Calculando os limites:
108 cdot 1^1010 - 108 cdot 0^1010 = 10810 = 10,8
648 cdot 1^1212 - 648 cdot 0^1212 = 64812 = 54

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
10,8 + 54 = 64,8

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 64,8.

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