Seja .
(a) é conservativo? Por quê?

Passo 1

No enunciado, temos um campo vetorial onde e . O conteúdo que vamos abordar aqui é sobre campos vetoriais conservativos. Para determinar se é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais de em relação a e de em relação a são iguais.

Passo 2

Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função potencial tal que . Em termos práticos, especialmente em duas dimensões, isso significa que as derivadas parciais devem satisfazer a condição . Se essa igualdade for verdadeira em todo o domínio considerado, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, calculamos :
Simplificando, temos:
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Observamos que:
Como as duas derivadas são iguais para todos os valores de e que fazem , concluímos que o campo vetorial satisfaz a condição necessária para ser conservativo.

Resposta

Sim, o campo é conservativo porque as derivadas parciais e são iguais.

Exercícios relacionados

Seja uma curva simétrica em relação ao eixo , que vai de a , como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por e o eixo vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força
Calcule , onde e é a curva fechada formada pelas curvas e , percorrida no sentido anti-horário.
Seja . Calcule a integral de linha do campo ao longo de e , orientadas no sentido anti-horário, onde
(a) ;
Seja de classe em , tal que . Sejam e . Calcule , sabendo que e .