Seja
.
(a)
é conservativo? Por quê?
(a)
Passo 1
No enunciado, temos um campo vetorial
onde
e
. O conteúdo que vamos abordar aqui é sobre campos vetoriais conservativos. Para determinar se
é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais.
Passo 2
Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Em termos práticos, especialmente em duas dimensões, isso significa que as derivadas parciais devem satisfazer a condição
. Se essa igualdade for verdadeira em todo o domínio considerado, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, calculamos
:
Simplificando, temos:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Observamos que:
Como as duas derivadas são iguais para todos os valores de
e
que fazem
, concluímos que o campo vetorial
satisfaz a condição necessária para ser conservativo.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo porque as derivadas parciais
e
são iguais.
Exercícios relacionados
Seja
uma curva simétrica em relação ao eixo
, que vai de
a
, como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por
e o eixo
vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força
Calcule
, onde
e
é a curva fechada formada pelas curvas
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Seja
. Calcule a integral de linha do campo
ao longo de
e
, orientadas no sentido anti-horário, onde
(a) ;
(a)
Seja
de classe
em
, tal que
. Sejam
e
. Calcule
, sabendo que
e
.