Seja
.
(a)
é conservativo? Por quê?
(a)
Passo 1
No enunciado, temos um campo vetorial
onde
e
. O conteúdo que vamos abordar aqui é sobre campos vetoriais conservativos. Para determinar se
é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais.
Passo 2
Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Em termos práticos, especialmente em duas dimensões, isso significa que as derivadas parciais devem satisfazer a condição
. Se essa igualdade for verdadeira em todo o domínio considerado, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, calculamos
:
Simplificando, temos:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Observamos que:
Como as duas derivadas são iguais para todos os valores de
e
que fazem
, concluímos que o campo vetorial
satisfaz a condição necessária para ser conservativo.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo porque as derivadas parciais
e
são iguais.