Seja F = (P, Q) = (cos(x^2) + x^2 * y^3 - y/(2 - x), x^3 * y^2 + ln(2 - x)).
(a) F é conservativo? Por quê?

Passo 1

No enunciado, temos um campo vetorial onde e . O conteúdo que vamos abordar aqui é sobre campos vetoriais conservativos. Para determinar se é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais de em relação a e de em relação a são iguais.

Passo 2

Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função potencial tal que . Em termos práticos, especialmente em duas dimensões, isso significa que as derivadas parciais devem satisfazer a condição . Se essa igualdade for verdadeira em todo o domínio considerado, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, calculamos :
Simplificando, temos:
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Observamos que:
Como as duas derivadas são iguais para todos os valores de e que fazem , concluímos que o campo vetorial satisfaz a condição necessária para ser conservativo.

Resposta

Sim, o campo é conservativo porque as derivadas parciais e são iguais.

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