Calcule
, onde
e
é a curva de equação
de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
é definida pela equação
, indo de
até
.
Para resolver isso, vamos usar a matéria de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos vetoriais. Vamos precisar parametrizar a curva
em partes mais simples para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. A equação
pode ser quebrada em duas partes, dependendo do valor de
:
-
Para
: Então, nessa parte, a curva é. -
Para
: Aqui, a curva é.
Então, a curva
é composta por duas retas: de
a
e de
a
.
Passo 3
Vamos agora parametrizar cada parte da curva
.
-
Primeira parte (
): de a , com : Aqui,varia de 0 a 1. -
Segunda parte (
): de a , com : Novamente,varia de 1 a 2.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
ao longo de cada parametrização e também a derivada de
, que é
.
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
para cada parte da curva e integrar em relação a
.
-
Integral em
: Calculando a integral: -
Integral em
: Calculando a integral:Avaliando nos limites:
Passo 6
Agora, vamos somar as integrais das duas partes da curva:
Resposta
A integral
vale
.