Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(x^2+y^2, x^2-y^2) e C é a curva de equação y=1-|1-x| de (0,0) a (2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é definida pela equação , indo de até .
Para resolver isso, vamos usar a matéria de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos vetoriais. Vamos precisar parametrizar a curva em partes mais simples para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva y = 1 - (1 - x) = x . A equação y = 1 - (x - 1) = 2 - x pode ser quebrada em duas partes, dependendo do valor de :
  1. Para :
    Então, nessa parte, a curva é .
  2. Para :
    Aqui, a curva é .
Então, a curva é composta por duas retas: de a e de a .

Passo 3

Vamos agora parametrizar cada parte da curva r1(t) = (t, t), 0 <= t <= 1 .
  1. Primeira parte ( r2(t) = (t, 2 - t), 1 <= t <= 2 ): de a , com :
    Aqui, varia de 0 a 1.
  2. Segunda parte ( ): de a , com :
    Novamente, varia de 1 a 2.

Passo 4

Agora, precisamos calcular F(r1(t)) = (t^2 + t^2, t^2 - t^2) = (2t^2, 0) ao longo de cada parametrização e também a derivada de dr1dt = (dxdt, dydt) = (1, 1) , que é F(r2(t)) = (t^2 + (2 - t)^2, t^2 - (2 - t)^2) = (t^2 + 4 - 4t + t^2, t^2 - (4 - 4t + t^2)) = (2t^2 - 4t + 4, 4t - 4) .
  1. Para dr2dt = (dxdt, dydt) = (1, -1) :
  2. Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr1dt = (2t^2) cdot 1 + (0) cdot 1 = 2t^2 para cada parte da curva e integrar em relação a integralC1 F cdot dr = integral0^1 2t^2 , dt .
  1. Integral em integral0^1 2t^2 , dt = 2 [ t^33 ]0^1 = 2 ( 13 - 0 ) = 23 :
    F cdot dr2dt = (2t^2 - 4t + 4) cdot 1 + (4t - 4) cdot (-1) = 2t^2 - 4t + 4 - 4t + 4 = 2t^2 - 8t + 8
    integralC2 F cdot dr = integral1^2 (2t^2 - 8t + 8) , dt
    Calculando a integral:
    integral1^2 (2t^2 - 8t + 8) , dt = [ 2t^33 - 4t^2 + 8t ]1^2
  2. Integral em ( 2(8)3 - 4(4) + 8(2) ) - ( 2(1)3 - 4(1) + 8(1) ) = ( 163 - 16 + 16 ) - ( 23 - 4 + 8 ) = 163 - 23 + 4 = 143 + 4 = 263 :
    Calculando a integral:
    Avaliando nos limites:

Passo 6

Agora, vamos somar as integrais das duas partes da curva:
integralC F cdot dr = integralC1 F cdot dr + integralC2 F cdot dr = 23 + 263 = 283

Resposta

A integral vale .

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