Calcule , onde e é a curva de equação de a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é definida pela equação , indo de até .
Para resolver isso, vamos usar a matéria de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos vetoriais. Vamos precisar parametrizar a curva em partes mais simples para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . A equação pode ser quebrada em duas partes, dependendo do valor de :
  1. Para :
    Então, nessa parte, a curva é .
  2. Para :
    Aqui, a curva é .
Então, a curva é composta por duas retas: de a e de a .

Passo 3

Vamos agora parametrizar cada parte da curva .
  1. Primeira parte ( ): de a , com :
    Aqui, varia de 0 a 1.
  2. Segunda parte ( ): de a , com :
    Novamente, varia de 1 a 2.

Passo 4

Agora, precisamos calcular ao longo de cada parametrização e também a derivada de , que é .
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar para cada parte da curva e integrar em relação a .
  1. Integral em :
    Calculando a integral:
  2. Integral em :
    Calculando a integral:
    Avaliando nos limites:

Passo 6

Agora, vamos somar as integrais das duas partes da curva:

Resposta

A integral vale .

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