Considere um sistema em que não existem forças externas. Uma barra fina de 2,0 m e de massa 20 kg está em repouso. Movendo-se com velocidade perpendicular à barra com valor de 15 m / s está uma esfera de raio muito menor do que o tamanho da barra e de massa 10 kg. A esfera colide com a barra a uma distância de 0,75 m da posição do centro de massa e, após a colisão, a esfera fica presa à barra na mesma posição. Qual é a velocidade angular da barra após a colisão?

Passo 1

Vamos resumir o que está acontecendo aqui. Temos uma barra fina de 2,0 metros de comprimento e 20 kg de massa que está parada. Uma esfera menor, com massa de 10 kg, está se movendo perpendicularmente à barra com uma velocidade de 15 m/s. A esfera colide com a barra a uma distância de 0,75 metros do centro da barra e fica presa nela após a colisão. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade angular da barra depois dessa colisão.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de momentum angular e momento de inércia, que são partes da física que estudam como objetos giram. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, como não há forças externas atuando no sistema (barra + esfera), o momentum angular total se conserva durante a colisão. Isso significa que o momentum angular antes da colisão é igual ao momentum angular depois da colisão.

Passo 3

Vamos calcular o momentum angular da esfera antes da colisão. O momentum angular ( L = m cdot v cdot r ) é dado por:
Lesfera = 10 , kg times 15 , m/s times 0,75 , m = 112,5 , kg cdot m^2/s
Onde:
  • é a massa da esfera (10 kg)
  • é a velocidade da esfera (15 m/s)
  • é a distância do ponto de colisão ao centro da barra (0,75 m)
Substituindo os valores:

Passo 4

Antes da colisão, a barra está em repouso, então seu momentum angular inicial é zero. Portanto, o momentum angular total antes da colisão é apenas o da esfera:
Ltotal inicial = 112,5 , kg cdot m^2/s

Passo 5

Depois da colisão, a esfera está presa à barra, e ambos giram juntos. Precisamos calcular o momento de inércia combinado da barra e da esfera para encontrar a velocidade angular final ( Ibarra = 112 m L^2 ).
O momento de inércia ( Ibarra = 112 times 20 , kg times (2,0 , m)^2 = 112 times 20 times 4 = 8012 approx 6,67 , kg cdot m^2 ) é uma medida de quanta inércia um objeto tem para girar em torno de um eixo. Para objetos compostos, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada parte.
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia da barra. Para uma barra fina girando em torno de seu centro:
Onde:
  • é a massa da barra (20 kg)
  • é o comprimento da barra (2,0 m)
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento de inércia da esfera presa à barra. Para um ponto de massa a uma distância Iesfera = m cdot r^2 do eixo de rotação:
Iesfera = 10 , kg times (0,75 , m)^2 = 10 times 0,5625 = 5,625 , kg cdot m^2
Onde:
  • é a massa da esfera (10 kg)
  • é a distância ao eixo (0,75 m)
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, somamos os momentos de inércia da barra e da esfera para obter o momento de inércia total do sistema após a colisão:
Itotal = Ibarra + Iesfera = 6,67 + 5,625 = 12,295 , kg cdot m^2

Passo 8

Agora que temos o momento de inércia total e sabemos que o momentum angular se conserva, podemos usar a equação da conservação do momentum angular:
Ltotal inicial = Itotal cdot omega
Resolvendo para omega = Ltotal inicialItotal = 112,512,295 approx 9,15 , rad/s :

Resposta

A velocidade angular da barra após a colisão é aproximadamente .

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