Em um plano inclinado, rolam sem deslizar uma casca esférica, uma esfera maciça, uma casca cilíndrica e um cilindro maciço, todos com a mesma massa. (a) Se todos são soltos ao mesmo tempo do topo do plano inclinado, qual a ordem de chegada na base do mesmo? (b) Encontre um objeto que chegaria antes de todos os listados. © Encontre a aceleração do centro de massa do anel se o ângulo de inclinação do plano é theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre diferentes objetos rolando sem deslizar por um plano inclinado. Os objetos são uma casca esférica, uma esfera maciça, uma casca cilíndrica e um cilindro maciço, todos com a mesma massa. A matéria que vamos usar aqui é a dinâmica de corpos rígidos em planos inclinados, e precisamos entender como a distribuição de massa (momentos de inércia) influencia na aceleração e no tempo que cada objeto leva para descer o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que acontece quando esses objetos rolam sem deslizar. Eles não apenas estão em movimento de translação (descendo o plano), mas também de rotação. Isso significa que parte da energia está sendo usada para girar o objeto. A quantidade de energia usada para a rotação depende do momento de inércia do objeto, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

O momento de inércia (I) é crucial aqui. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para o objeto iniciar a rotação, o que resulta em uma aceleração menor ao descer pelo plano inclinado. As fórmulas dos momentos de inércia para os objetos mencionados são:
  • Casca esférica:
  • Esfera maciça:
  • Casca cilíndrica:
  • Cilindro maciço:
Aqui, é a massa e o raio do objeto.

Passo 4

A aceleração de cada objeto descendo o plano inclinado pode ser encontrada usando a equação:
a = g sin theta1 + Im r^2
Onde:
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o ângulo de inclinação do plano,
  • é o momento de inércia.
Perceba que quanto maior , menor a aceleração .

Passo 5

Vamos calcular a aceleração para cada objeto:
  1. Casca esférica:
a = g sin theta1 + 23 m r^2m r^2 = g sin theta1 + 23 = g sin theta53 = 35 g sin theta
  1. Esfera maciça:
a = g sin theta1 + 25 m r^2m r^2 = g sin theta1 + 25 = g sin theta75 = 57 g sin theta
  1. Casca cilíndrica:
a = g sin theta1 + m r^2m r^2 = g sin theta1 + 1 = g sin theta2 = 12 g sin theta
  1. Cilindro maciço:
a = g sin theta1 + 12 m r^2m r^2 = g sin theta1 + 12 = g sin theta32 = 23 g sin theta

Passo 6

Agora que temos as acelerações:
  • Casca esférica:
  • Esfera maciça:
  • Casca cilíndrica:
  • Cilindro maciço:
Vamos comparar esses valores para determinar a ordem de chegada.

Passo 7

Comparando as frações:
57 approx 0,714; 35 = 0,6; 23 approx 0,666; 12 = 0,5
Maior aceleração significa que o objeto desce mais rápido. Então, em ordem decrescente de aceleração:
  1. Esfera maciça ( )
  2. Cilindro maciço ( )
  3. Casca esférica ( )
  4. Casca cilíndrica ( )
Logo, a esfera maciça chega primeiro, seguida pelo cilindro maciço, a casca esférica e, por último, a casca cilíndrica.

Passo 8

Para a parte (b), queremos um objeto que chegaria antes de todos os listados. Olhando para a fórmula da aceleração,
a = g sin theta1 + Im r^2
Para maximizar , precisamos minimizar . O menor momento de inércia ocorre quando toda a massa está concentrada no eixo, ou seja, um ponto material. Assim, um objeto que pode ser considerado um ponto material (massa concentrada no centro) chegaria antes de todos os listados.

Passo 9

Por fim, vamos para a parte ©. Queremos encontrar a aceleração do centro de massa da casca cilíndrica (anel) com o ângulo de inclinação a = g sin theta1 + Im r^2 .
A fórmula geral já nos dá:
a = g sin theta1 + m r^2m r^2 = g sin theta2 = 12 g sin theta
Para a casca cilíndrica, , então:

Resposta

(a) Ordem de chegada na base do plano inclinado: esfera maciça, cilindro maciço, casca esférica, casca cilíndrica.
(b) Um ponto material (massa concentrada no centro) chegaria antes de todos os listados.
© A aceleração do centro de massa da casca cilíndrica é .

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