Calcule , onde é o círculo , percorrido no sentido anti-horário e é o campo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde é o círculo definido por , percorrido no sentido anti-horário. O campo vetorial é dado por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Isso vai facilitar bastante nossa vida!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Então, nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando :
Usamos a regra do quociente:

Passo 5

Calculando :
Novamente, aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, substituindo no Teorema de Green:
Ou seja, a diferença das derivadas parciais é zero.

Passo 7

Com isso, a integral dupla fica:
Portanto, de acordo com o Teorema de Green, a integral de linha também será zero.

Resposta

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