Calcule
, onde
é o círculo
, percorrido no sentido anti-horário e
é o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
é o círculo definido por
, percorrido no sentido anti-horário. O campo vetorial
é dado por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Isso vai facilitar bastante nossa vida!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
e uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Então, nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
Usamos a regra do quociente:
Passo 5
Calculando
:
Novamente, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, substituindo no Teorema de Green:
Ou seja, a diferença das derivadas parciais é zero.
Passo 7
Com isso, a integral dupla fica:
Portanto, de acordo com o Teorema de Green, a integral de linha também será zero.
Resposta
Exercícios relacionados
(Desafio) Usando o Teorema de Green, mostre que
Dica: Para cada número natural
, existe um polinômio
de grau
tal que $T_{n}(\cos x)=\cos (n x). São conhecidos como Polinômios de Chebyshev.
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas. Encontre
de forma que
é a massa de
com densidade
.
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra