Calcule integralC F cdot d r, onde C é o círculo x^2+y^2=1, percorrido no sentido anti-horário e F é o campo F(x, y)=(-y4 x^2+9 y^2, x4 x^2+9 y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha F(x, y) = (-y4 x^2+9 y^2, x4 x^2+9 y^2) , onde é o círculo definido por , percorrido no sentido anti-horário. O campo vetorial é dado por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Isso vai facilitar bastante nossa vida!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Então, nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos identificar P = -y4 x^2+9 y^2, Q = x4 x^2+9 y^2 e no nosso campo vetorial :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x ( x4 x^2+9 y^2 ) :
partial Qpartial x = (1)(4x^2+9y^2) - x(8x)(4x^2+9y^2)^2 = 4x^2+9y^2 - 8x^2(4x^2+9y^2)^2 = -4x^2+9y^2(4x^2+9y^2)^2
Usamos a regra do quociente:

Passo 5

Calculando partial Ppartial y = partialpartial y ( -y4 x^2+9 y^2 ) :
partial Ppartial y = (-1)(4x^2+9y^2) - (-y)(18y)(4x^2+9y^2)^2 = -4x^2-9y^2 + 18y^2(4x^2+9y^2)^2 = -4x^2+9y^2(4x^2+9y^2)^2
Novamente, aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, substituindo no Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -4x^2+9y^2(4x^2+9y^2)^2 - -4x^2+9y^2(4x^2+9y^2)^2 = 0
Ou seja, a diferença das derivadas parciais é zero.

Passo 7

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dA = 0
Portanto, de acordo com o Teorema de Green, a integral de linha também será zero.

Resposta

integralC F cdot d r = 0

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