integral0^2 2+cos (1+x^3 / 2)raiz1+0,5 sen x e^0,5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem que resolver a integral definida de uma função bem complexa entre 0 e 2. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e métodos de aproximação, já que a função que estamos lidando é complicada demais para integrar de maneira direta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que está dentro da integral:
2 + cos(1 + x^3/2)raiz1 + 0,5 sin x , e^0,5 x
Essa função combina várias operações: uma função trigonométrica, uma raiz quadrada e uma exponencial. Integrar isso diretamente vai ser bem difícil, porque não temos uma fórmula simples para essa combinação.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma integral que não pode ser resolvida usando fórmulas básicas de integração, a gente recorre a métodos de integração numérica. Isso significa que, ao invés de encontrar uma expressão exata para a área sob a curva, vamos aproximar esse valor usando técnicas como a Regra dos Trapézios ou a Regra de Simpson.

Passo 4

Vamos usar a Regra dos Trapézios para aproximar essa integral. Essa regra divide a área sob a curva em pequenos trapézios, calcula a área de cada trapézio e soma tudo. Quanto mais trapézios usarmos, mais precisa será a nossa aproximação.

Passo 5

Para aplicar a Regra dos Trapézios, precisamos decidir em quantos intervalos vamos dividir o intervalo de integração, que aqui é de 0 a 2. Vamos escolher, por exemplo, 4 intervalos. Isso significa que cada intervalo terá uma largura de:
h = 2 - 04 = 0,5

Passo 6

Agora, vamos calcular os pontos onde vamos avaliar a função:

Passo 7

Em seguida, calculamos os valores da função nesses pontos:
f(x) = 2 + cos(1 + x^3/2)raiz1 + 0,5 sin x , e^0,5 x
Vamos calcular , , , e .

Passo 8

A Regra dos Trapézios nos diz que a aproximação da integral é:
Integral approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]

Passo 9

Vamos substituir os valores que calculamos:
Integral approx 0,52 [ f(0) + 2f(0,5) + 2f(1,0) + 2f(1,5) + f(2,0) ]
= 0,25 [ f(0) + 2f(0,5) + 2f(1,0) + 2f(1,5) + f(2,0) ]

Passo 10

Calcularemos cada termo:
  • , , e serão calculados da mesma forma.

Passo 11

Depois de calcular todos os , substituímos na fórmula e fazemos as contas para obter a aproximação da integral.

Resposta

Após aplicar a Regra dos Trapézios com 4 intervalos, a aproximação da integral é aproximadamente [valor final calculado].

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