(Desafio) Usando o Teorema de Green, mostre que
Dica: Para cada número natural
, existe um polinômio
de grau
tal que $T_{n}(\cos x)=\cos (n x). São conhecidos como Polinômios de Chebyshev.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a integral de
de 0 a
é igual a zero, utilizando o Teorema de Green. Para isso, precisamos entender conceitos de cálculo integral e propriedades dos Polinômios de Chebyshev.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. No nosso caso, precisamos adaptar esse teorema para trabalhar com a integral dada.
Passo 3
Agora, observamos que o produto de várias funções cosseno pode ser simplificado usando identidades trigonométricas. Especificamente, sabemos que o produto de cossenos de múltiplos ângulos pode ser expresso como uma soma de cossenos de diferentes combinações de múltiplos desses ângulos.
Passo 4
Considerando que temos um produto de cossenos de
, ao expandir esse produto, obteremos uma soma de termos do tipo
, onde
é uma combinação linear dos múltiplos originais. Cada termo dessa soma será uma função cosseno com uma frequência diferente.
Passo 5
A integral de um cosseno com múltiplos de
sobre o intervalo de 0 a
é zero, a menos que o múltiplo seja zero. Isso ocorre porque as funções cosseno são ortogonais nesse intervalo, ou seja, suas integrais cruzadas são zero.
Passo 6
No nosso caso, como estamos multiplicando cossenos com múltiplos diferentes de
, as combinações lineares resultarão em múltiplos não nulos de
. Portanto, cada termo da soma resultante da expansão do produto de cossenos terá uma frequência diferente de zero, e sua integral sobre
a
será zero.
Passo 7
Além disso, não haverá um termo constante na expansão, já que todas as frequências envolvidas são múltiplos de
e não incluem
. Assim, a integral completa será a soma de zeros, resultando em zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas. Encontre
de forma que
é a massa de
com densidade
.
Dizemos que um campo
tem simetria de rotação de
quando
. Sejam
os arcos do círculo
contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Calcule
Calcule
, onde
é o círculo
, percorrido no sentido anti-horário e
é o campo