(Desafio) Usando o Teorema de Green, mostre que Dica: Para cada número natural , existe um polinômio de grau tal que $T_{n}(\cos x)=\cos (n x). São conhecidos como Polinômios de Chebyshev.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a integral de de 0 a é igual a zero, utilizando o Teorema de Green. Para isso, precisamos entender conceitos de cálculo integral e propriedades dos Polinômios de Chebyshev.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. No nosso caso, precisamos adaptar esse teorema para trabalhar com a integral dada.

Passo 3

Agora, observamos que o produto de várias funções cosseno pode ser simplificado usando identidades trigonométricas. Especificamente, sabemos que o produto de cossenos de múltiplos ângulos pode ser expresso como uma soma de cossenos de diferentes combinações de múltiplos desses ângulos.

Passo 4

Considerando que temos um produto de cossenos de , ao expandir esse produto, obteremos uma soma de termos do tipo , onde é uma combinação linear dos múltiplos originais. Cada termo dessa soma será uma função cosseno com uma frequência diferente.

Passo 5

A integral de um cosseno com múltiplos de sobre o intervalo de 0 a é zero, a menos que o múltiplo seja zero. Isso ocorre porque as funções cosseno são ortogonais nesse intervalo, ou seja, suas integrais cruzadas são zero.

Passo 6

No nosso caso, como estamos multiplicando cossenos com múltiplos diferentes de , as combinações lineares resultarão em múltiplos não nulos de . Portanto, cada termo da soma resultante da expansão do produto de cossenos terá uma frequência diferente de zero, e sua integral sobre a será zero.

Passo 7

Além disso, não haverá um termo constante na expansão, já que todas as frequências envolvidas são múltiplos de e não incluem . Assim, a integral completa será a soma de zeros, resultando em zero.

Resposta

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Calcule , onde é o círculo , percorrido no sentido anti-horário e é o campo