Seja D a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência C com equação x^2+y^2=1. Considere uma função contínua f(x, y) cujas derivadas são contínuas. Encontre f(x, y) de forma que integralC f(x, y) d x é a massa de D com densidade rho(x, y)=(x+y)^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma região circular no plano, cujo contorno é a circunferência definida pela equação . A gente tem uma função contínua que tem derivadas contínuas também. O objetivo é encontrar essa função de forma que a integral de linha represente a massa da região com a densidade .
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma região com integrais duplas sobre a própria região. Também vamos precisar entender como calcular a massa de uma região usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a massa da região M = integral duplaD rho(x, y) , dx , dy = integral duplaD (x + y)^2 , dx , dy . A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região:
Isso nos dá a massa total da região com a densidade .

Passo 3

Agora, vamos analisar a integral de linha ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy . Pelo Teorema de Green, essa integral de linha pode ser relacionada a uma integral dupla sobre a região ointC f(x, y) , dx = integral duplaD ( partial 0partial x - partial fpartial y ) dx , dy = - integral duplaD partial fpartial y , dx , dy . O teorema nos diz que:
No nosso caso, temos e , já que a integral de linha é apenas em termos de . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Segundo a questão, essa integral de linha - integral duplaD partial fpartial y , dx , dy = integral duplaD (x + y)^2 , dx , dy deve ser igual à massa - partial fpartial y = (x + y)^2 . Portanto, temos:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por , mas como as integrais são iguais para toda a região , podemos igualar as funções sob as integrais:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação diferencial parcial para encontrar partial fpartial y = - (x + y)^2 . Reescrevendo a equação:
f(x, y) = - integral (x + y)^2 , dy + g(x)
Para encontrar , precisamos integrar em relação a :
onde é uma função arbitrária de que surge da integração.

Passo 6

Vamos realizar a integração:
f(x, y) = - integral (x^2 + 2xy + y^2) , dy + g(x)
Integrando termo a termo:
f(x, y) = - ( x^2 y + x y^2 + 13 y^3 ) + g(x)
Então, temos:
f(x, y) = -x^2 y - x y^2 - 13 y^3 + g(x)

Passo 7

A função f(x, y) = -x^2 y - x y^2 - 13 y^3 é uma função arbitrária de e reflete que existem infinitas soluções para que satisfazem a condição dada. Se quisermos uma solução particular, podemos escolher . Assim, uma possível função que atende aos requisitos da questão é:

Resposta

A função f(x, y) = -x^2 y - x y^2 - 13 y^3 + g(x) que satisfaz a condição dada é:
onde é uma função arbitrária de .

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