Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas. Encontre de forma que é a massa de com densidade .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma região circular no plano, cujo contorno é a circunferência definida pela equação . A gente tem uma função contínua que tem derivadas contínuas também. O objetivo é encontrar essa função de forma que a integral de linha represente a massa da região com a densidade .
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma região com integrais duplas sobre a própria região. Também vamos precisar entender como calcular a massa de uma região usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a massa da região . A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região:
Isso nos dá a massa total da região com a densidade .

Passo 3

Agora, vamos analisar a integral de linha . Pelo Teorema de Green, essa integral de linha pode ser relacionada a uma integral dupla sobre a região . O teorema nos diz que:
No nosso caso, temos e , já que a integral de linha é apenas em termos de . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Segundo a questão, essa integral de linha deve ser igual à massa . Portanto, temos:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por , mas como as integrais são iguais para toda a região , podemos igualar as funções sob as integrais:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação diferencial parcial para encontrar . Reescrevendo a equação:
Para encontrar , precisamos integrar em relação a :
onde é uma função arbitrária de que surge da integração.

Passo 6

Vamos realizar a integração:
Integrando termo a termo:
Então, temos:

Passo 7

A função é uma função arbitrária de e reflete que existem infinitas soluções para que satisfazem a condição dada. Se quisermos uma solução particular, podemos escolher . Assim, uma possível função que atende aos requisitos da questão é:

Resposta

A função que satisfaz a condição dada é:
onde é uma função arbitrária de .

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Dizemos que um campo tem simetria de rotação de quando . Sejam os arcos do círculo contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Calcule
Sejam o círculo e a elipse , ambos orientados no sentido anti-horário. Considere os campos: (a) Use o teorema de Green para mostrar que . (b) Use o teorema de Green para calcular . © Mostre que $\int_{C} \vec{G} \cdot d \vec{r}=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} e conclua que .
(Desafio) Usando o Teorema de Green, mostre que Dica: Para cada número natural , existe um polinômio de grau tal que $T_{n}(\cos x)=\cos (n x). São conhecidos como Polinômios de Chebyshev.
Calcule , onde é o círculo , percorrido no sentido anti-horário e é o campo