Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas. Encontre
de forma que
é a massa de
com densidade
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma região circular
no plano, cujo contorno é a circunferência
definida pela equação
. A gente tem uma função contínua
que tem derivadas contínuas também. O objetivo é encontrar essa função
de forma que a integral de linha
represente a massa da região
com a densidade
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma região com integrais duplas sobre a própria região. Também vamos precisar entender como calcular a massa de uma região usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a massa da região
. A massa
é dada pela integral dupla da densidade sobre a região:
Isso nos dá a massa total da região
com a densidade
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a integral de linha
. Pelo Teorema de Green, essa integral de linha pode ser relacionada a uma integral dupla sobre a região
. O teorema nos diz que:
No nosso caso, temos
e
, já que a integral de linha é apenas em termos de
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Segundo a questão, essa integral de linha
deve ser igual à massa
. Portanto, temos:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por
, mas como as integrais são iguais para toda a região
, podemos igualar as funções sob as integrais:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação diferencial parcial para encontrar
. Reescrevendo a equação:
Para encontrar
, precisamos integrar em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
que surge da integração.
Passo 6
Vamos realizar a integração:
Integrando termo a termo:
Então, temos:
Passo 7
A função
é uma função arbitrária de
e reflete que existem infinitas soluções para
que satisfazem a condição dada. Se quisermos uma solução particular, podemos escolher
. Assim, uma possível função
que atende aos requisitos da questão é:
Resposta
A função
que satisfaz a condição dada é:
onde
é uma função arbitrária de
.
Exercícios relacionados
Dizemos que um campo
tem simetria de rotação de
quando
. Sejam
os arcos do círculo
contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Calcule
Sejam
o círculo
e
a elipse
, ambos orientados no sentido anti-horário. Considere os campos:
(a) Use o teorema de Green para mostrar que
. (b) Use o teorema de Green para calcular
. © Mostre que $\int_{C} \vec{G} \cdot d \vec{r}=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} e conclua que
.
(Desafio) Usando o Teorema de Green, mostre que
Dica: Para cada número natural
, existe um polinômio
de grau
tal que $T_{n}(\cos x)=\cos (n x). São conhecidos como Polinômios de Chebyshev.
Calcule
, onde
é o círculo
, percorrido no sentido anti-horário e
é o campo